如果把函数想像成向量 sin(nπx/L) 跟 cos(nπx/L) 想像成基底向量(即 e1, e2 一类的东西) 那麽一言以蔽之，傅立叶转换就是在计算函数的某个分量。 举个直角坐标的例子 e1=(1,1,0)/√2 , e2=(-1,1,0)/√2, e3=(0,0,1)，三者两两正交 若我们要计算向量 v 的 v1 分量，就是用 v‧e1，相信大家都知道的。 为什麽这件事情是对的呢？ 那是因为在正交坐标系里头，"▁▁‧ei" 这个动作(算子)有一个特性 就是 ej‧ei = δij，其他成分跟自己的内积皆为零， 所以假如我们要取出 v = v1e1 + v2e2 + v3e3 的 v1 成分 那麽只要把等式两边 apply "▁▁‧e1" 算子 就变成 v‧ei = v1e1‧e1 + v2e2‧e1 + v3e3‧e1 ^^^^^^^^只有这项留下 那傅立叶转换跟这有什麽关系？ 为什麽 sin(nπx/L) 跟 cos(nπx/L) 可以当作基底向量， 并以线性组合的方式来凑出函数f(x)呢？ 这是一个数学上的事实（这边只讲大意，精确的版本要参考高微）： 1.有限闭区间(长度L)上的连续函数 都可以表示成 sin(nπx/L) 跟 cos(nπx/L) 的线性组合 2.无限区间上的连续函数， 都可以表示成 sinkx 与 coskx 的线性组合（或者等价的，exp(ikx)） 但是从物理的角度来看，这两件事情是很显然的： 1.在闭区间上，若把函数f(x)想像成弦的振动 那麽你们都知道，弦上只有一些稳定的振动模式能够存活 就是驻波，sin(nπx/L) 跟 cos(nπx/L) 所以任何稳定的驻波振动，都必然是这两种函数的线性组合， 不可能包含其他的成分。 故以这些驻波模式做为基底，是一种很自然的看法。 2.如果是无限区间，那麽弦振动的方式就可以被随意决定， 所以会包含任意频率的振动模式 （也有一种看法是 L→∞ 时，sin(nπx/L)就变成连续的了） 所以「如何以 sin(nπx/L) 跟 cos(nπx/L) 的线性组合凑出连续函数 f(x)」 这个凑法的存在性有数学定理保证 所以 f(x) = Σan sin(nπx/L) + Σbn cos(nπx/L) +b0/2 这种写法是存在的， 问题就是如何找出 an 跟 bn（即各成分的振幅）。 怎麽找呢？ 注意到 L/2 L/2 转换算子 ∫▁▁sin(nπx/L) dx 或 ∫▁▁cos(nπx/L) dx -L/2 -L/2 其实具有内积的特性： (1)∫sin(mπx/L)cos(nπx/L) dx = 0 (2)∫sin(mπx/L)sin(nπx/L) dx = L/2 δmn (3)∫cos(mπx/L)cos(nπx/L) dx = L/2 δmn 而这点也可以用物理的角度来看： 若把∫f(x)g(x)dx 解释成相关系数，fg同号的区间贡献正值，反之则贡献负值， 那麽两个独立的驻波振动模式，同正或同负的区间长度将会均等。 画个第1泛音跟第2泛音，观察其正负便可明白。 如果把 L/2 除掉(normalize)， 那麽 (2/L)∫▁▁sin(nπx/L) dx 跟 (2/L)∫▁▁cos(nπx/L) dx这种动作 就相当於直角坐标下的"▁▁‧ei"算子 因此，我们若要计算 下面等式的各项系数 f(x) = Σan sin(nπx/L) + Σbn cos(nπx/L) +b0/2 只要两边 apply (2/L)∫▁▁sin(nπx/L) dx 或 (2/L)∫▁▁cos(nπx/L) dx 即可 所以才会得到下面公式 an = (2/L)∫f(x)sin(nπx/L) dx bn = (2/L)∫f(x)cos(nπx/L) dx （包含b0） 无限区间的内积牵涉到 delta-function 不过除此之外，概念基本上是类似的。 --

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