以下是我成大的同學寄給我滴 是成大的學長po的 真的是超易懂的 特別適合我這種肉腳.... 作者: WhereMyLove (哇 咻一下～期末了) 看板: Civil96B 標題: 幫助微積分第二章學習的文章 時間: Thu Jan 1 19:32:48 2004 "極限的定義"曾經困擾著我。 我曾問了不少人，終於了解不少。 我希望一些微積分初學者不要像我以前一樣， 繞很多圈子還是搞不懂。 所以我寫了以下的教學文章，希望能讓初學者弄懂極限的定義。 不過這只是草稿，內容可能有錯誤。 希望那些懂"極限定義"的人能幫忙我除錯(debug)。 謝謝。 _________________________________________ 極限的定義是: 對於所有ε>0，存在有一δ>0， 0<|x-a|<δ，|f(x)-L|<ε。 相信大部分微積分的初學者都望之生畏。 想要看懂它，我們不如舉一些實際的例子來看看極限是在說什麼。 首先我們都知道: lim 2x+1 = 7 x->3 那這是什麼意思呢? 它的意思就是: 我今天有個函數f(x)=2x+1。在x愈靠近3的附近，f(x)的值愈靠近7。 所以我們知道"極限": lim f(x)=L x->a 它要表達的是，x愈靠近a，f(x)愈靠近L。 所謂的"近"就是"距離很近"的意思，"距離"用數學符號來表達就是: |x-a| 跟 |f(x)-L| 可是我們要如何表達"近"呢? 我先說一個故事: 從前從前有四個人A、B、C、D，有一天他們在爭論一個問題: x≠a，如何描述x很靠近a? A先說:|x-a|<0.1。 B說:不，|x-a|<0.01更好。 C說:不不不，|x-a|<0.001更好。 A改口說:那|x-a|<0.0001更更好。 B說:錯了，|x-a|<0.00001更更更好。 C說:No!|x-a|<0.000001更更更更好。 . . . 正大家鬧的不可開交、難分難捨的時候，聰明的D打破沉默。 D說:爭什麼，摻在一起做撒尿牛丸啊，笨蛋。反正不管你們說的數字有多小， 它們都大於0。所以這樣說不就好了: 對於所有δ>0，|x-a|<δ。 A、B、C聽的心服口服。 從此A、B、C、D過著幸福快樂的日子。 ~故事完~ 看完上面的故事，我們知道如何用數學符號表達"近"的概念。 再來看極限的定義。 (1) x->a (2) f(x)->L 這兩個用數學符號來表達就是: (1) 對於所有δ>0，|x-a|<δ。 (2) 對於所有ε>0，|f(x)-L|<ε。 這已經有極限定義的雛型。 但是(1)要修改一下。 因為(1)是"x趨近於a"，我們不希望x=a，所以只要在前面加個"0<"就行了。 所以(1)變成: 0<|x-a|<δ 我們雖然有兩個式子了: (1) 對於所有δ>0，0<|x-a|<δ (2) 對於所有ε>0，|f(x)-L|<ε 但這樣還是不夠的。 因為我們希望x->a的同時f(x)->L， 可是今天我根本沒說它、保證它具有這樣的關係， 也許x->a的時候f(x)->K， 所以我們必須讓(1)(2)發生關係。 我們希望"ε愈小讓δ愈小"，這樣有什麼好處? 因為ε愈小那麼|f(x)-L|愈小，就是f(x)->L， 如果ε同時也讓δ愈小，那麼不就代表|x-a|也愈小，也就是x->a。 這不就是極限要表達的概念嗎? 那麼我們要如何讓"ε愈小讓δ愈小"? 可以從之前的(1)(2)式子引出。 我們把(1)(2)合併如下: 對於所有ε>0，對於所有δ>0， 0<|x-a|<δ，|f(x)-L|<ε。 我們只要把"對於所有δ>0"，改成"存在有一δ>0"就行了。 為什麼? 首先你在紙上隨便畫一個f(x)函數圖。 |f(x)-L|<ε去絕對值 => L-ε < f(x) < L+ε 它指的就是f(x)的值(或者說圖形)要介於 y = L-ε 和 y = L +ε之間。 所以你今天ε取的愈小，那麼符合的f(x)就只有可能愈來愈少。 如果今天0<|x-a|<δ(代表 a-δ < x < a+δ)， 又說"ε取的愈小，符合的f(x)就只有可能愈來愈少"， 那不就代表"x的範圍要愈來愈小"。 那麼，a是定值，所以δ要愈來愈小，才能造成"x的範圍愈來愈小"。 所以我們知道把(1)(2)如此組合在一起，可以造成"ε愈小讓δ愈小"。 現在來說明為什麼要叫"存在有一δ>0"。 如果今天ε為一定例如0.001， 我找得到 a-0.1 < x < a+0.1在這樣的範圍裡的所有f(x)值，都是符合的值(圖形)。 那麼如果我取比它更小的範圍 例如 a-0.01 < x < a+0.01， 那也應該在這樣的範圍裡的所有f(x)值，都是符合的值(圖形)。 所以我們知道δ其實不只一個，你只要"至少有一個"就行了。 所以極限的定義就如此導出。 (如有錯誤歡迎指正，謝謝。) ~完~ -- m 作為一個革命者，他死了。他已走向反革命，並且是中國工人 m 群眾的敵人。蔣介石曾經是我的父親和革命的朋友。他已經走 m 向反革命陣營，現在他是我的敵人了。 m .......蔣經國<打倒蔣介石聲明>m -- ;44;32m ◢0;32;44m◣ ;37m︵︵ 0m█▔◣ █▔█ █▔▔ █▔█ █▆▉ █ █▔█ █◣█ █▔1m● mmmmm ;32;44m◢2m◤0;44;32m█◣m◢0;32;44m◣ ;37m︵︵ 0;37;44m█ █ █▁◤ █▁▁ █▁█ ▉▉▉ █ █▁█ █◥█ █ █ mmmmmmm ;36;42m夢之大地 逼逼ㄟ四 7m█▁◤ █ █ █▁▁ █ █ ▉▉▉ █▁ █ █ █ █ █▁◤ mm ;32m※ Origin:3m <bbs.ccns.ncku.edu.tw> 1m◆ From:6m 140.116.132.118 mmm --

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