以下是我成大的同学寄给我滴 是成大的学长po的 真的是超易懂的 特别适合我这种肉脚.... 作者: WhereMyLove (哇 咻一下～期末了) 看板: Civil96B 标题: 帮助微积分第二章学习的文章 时间: Thu Jan 1 19:32:48 2004 "极限的定义"曾经困扰着我。 我曾问了不少人，终於了解不少。 我希望一些微积分初学者不要像我以前一样， 绕很多圈子还是搞不懂。 所以我写了以下的教学文章，希望能让初学者弄懂极限的定义。 不过这只是草稿，内容可能有错误。 希望那些懂"极限定义"的人能帮忙我除错(debug)。 谢谢。 _________________________________________ 极限的定义是: 对於所有ε>0，存在有一δ>0， 0<|x-a|<δ，|f(x)-L|<ε。 相信大部分微积分的初学者都望之生畏。 想要看懂它，我们不如举一些实际的例子来看看极限是在说什麽。 首先我们都知道: lim 2x+1 = 7 x->3 那这是什麽意思呢? 它的意思就是: 我今天有个函数f(x)=2x+1。在x愈靠近3的附近，f(x)的值愈靠近7。 所以我们知道"极限": lim f(x)=L x->a 它要表达的是，x愈靠近a，f(x)愈靠近L。 所谓的"近"就是"距离很近"的意思，"距离"用数学符号来表达就是: |x-a| 跟 |f(x)-L| 可是我们要如何表达"近"呢? 我先说一个故事: 从前从前有四个人A、B、C、D，有一天他们在争论一个问题: x≠a，如何描述x很靠近a? A先说:|x-a|<0.1。 B说:不，|x-a|<0.01更好。 C说:不不不，|x-a|<0.001更好。 A改口说:那|x-a|<0.0001更更好。 B说:错了，|x-a|<0.00001更更更好。 C说:No!|x-a|<0.000001更更更更好。 . . . 正大家闹的不可开交、难分难舍的时候，聪明的D打破沉默。 D说:争什麽，掺在一起做撒尿牛丸啊，笨蛋。反正不管你们说的数字有多小， 它们都大於0。所以这样说不就好了: 对於所有δ>0，|x-a|<δ。 A、B、C听的心服口服。 从此A、B、C、D过着幸福快乐的日子。 ~故事完~ 看完上面的故事，我们知道如何用数学符号表达"近"的概念。 再来看极限的定义。 (1) x->a (2) f(x)->L 这两个用数学符号来表达就是: (1) 对於所有δ>0，|x-a|<δ。 (2) 对於所有ε>0，|f(x)-L|<ε。 这已经有极限定义的雏型。 但是(1)要修改一下。 因为(1)是"x趋近於a"，我们不希望x=a，所以只要在前面加个"0<"就行了。 所以(1)变成: 0<|x-a|<δ 我们虽然有两个式子了: (1) 对於所有δ>0，0<|x-a|<δ (2) 对於所有ε>0，|f(x)-L|<ε 但这样还是不够的。 因为我们希望x->a的同时f(x)->L， 可是今天我根本没说它、保证它具有这样的关系， 也许x->a的时候f(x)->K， 所以我们必须让(1)(2)发生关系。 我们希望"ε愈小让δ愈小"，这样有什麽好处? 因为ε愈小那麽|f(x)-L|愈小，就是f(x)->L， 如果ε同时也让δ愈小，那麽不就代表|x-a|也愈小，也就是x->a。 这不就是极限要表达的概念吗? 那麽我们要如何让"ε愈小让δ愈小"? 可以从之前的(1)(2)式子引出。 我们把(1)(2)合并如下: 对於所有ε>0，对於所有δ>0， 0<|x-a|<δ，|f(x)-L|<ε。 我们只要把"对於所有δ>0"，改成"存在有一δ>0"就行了。 为什麽? 首先你在纸上随便画一个f(x)函数图。 |f(x)-L|<ε去绝对值 => L-ε < f(x) < L+ε 它指的就是f(x)的值(或者说图形)要介於 y = L-ε 和 y = L +ε之间。 所以你今天ε取的愈小，那麽符合的f(x)就只有可能愈来愈少。 如果今天0<|x-a|<δ(代表 a-δ < x < a+δ)， 又说"ε取的愈小，符合的f(x)就只有可能愈来愈少"， 那不就代表"x的范围要愈来愈小"。 那麽，a是定值，所以δ要愈来愈小，才能造成"x的范围愈来愈小"。 所以我们知道把(1)(2)如此组合在一起，可以造成"ε愈小让δ愈小"。 现在来说明为什麽要叫"存在有一δ>0"。 如果今天ε为一定例如0.001， 我找得到 a-0.1 < x < a+0.1在这样的范围里的所有f(x)值，都是符合的值(图形)。 那麽如果我取比它更小的范围 例如 a-0.01 < x < a+0.01， 那也应该在这样的范围里的所有f(x)值，都是符合的值(图形)。 所以我们知道δ其实不只一个，你只要"至少有一个"就行了。 所以极限的定义就如此导出。 (如有错误欢迎指正，谢谢。) ~完~ -- m 作为一个革命者，他死了。他已走向反革命，并且是中国工人 m 群众的敌人。蒋介石曾经是我的父亲和革命的朋友。他已经走 m 向反革命阵营，现在他是我的敌人了。 m .......蒋经国<打倒蒋介石声明>m -- ;44;32m ◢0;32;44m◣ ;37m︵︵ 0m█▔◣ █▔█ █▔▔ █▔█ █▆▉ █ █▔█ █◣█ █▔1m● mmmmm ;32;44m◢2m◤0;44;32m█◣m◢0;32;44m◣ ;37m︵︵ 0;37;44m█ █ █▁◤ █▁▁ █▁█ ▉▉▉ █ █▁█ █◥█ █ █ mmmmmmm ;36;42m梦之大地 逼逼ㄟ四 7m█▁◤ █ █ █▁▁ █ █ ▉▉▉ █▁ █ █ █ █ █▁◤ mm ;32m※ Origin:3m <bbs.ccns.ncku.edu.tw> 1m◆ From:6m 140.116.132.118 mmm --

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