這是100級學長(?)那年的考題 有修的加減參考吧 97學年第一次線性代數期中考 1. 試定義 (G,+) for semi-group , monoid , group , abelian group 2. 試判別(N,+) , (N,x) , (Z,+) , (Z,x) 分別屬於哪種代數結構 3. 試證: O_F*α = 0_V 4. 設S_λ為包含(等)於V的一子空間，λ屬於Λ。 試證:對於λ屬於Λ之交集(∩)，S_λ為包含(等)於V的一子空間 5. 已知S_1,S_2為包含(等)於V的一子空間。試證: S_1∪S_2為包含(等)於V的一子空間 <=> S_1包含(等)於S_2 或 S_2包含(等)於S_1 6. 令B={α_1,α_2,....,α_n}。試說明: (1)B的linear conbination (2)B是 L.D set (3)B是 L.I set (4)B是 basis of V 7. show that B is a basis of V <=> B is a minimal generating set of V <=> B is a maximal L.I set of V 8. 已知T屬於L(V,W)。 試證:ker(T)為包含(等)於V的一子空間且T(V)為包含(等)於W的一子空間。 9. 已知T屬於L(V,W)。 試證:T is 1 to 1 <=> ker(T)={0_V} 10. 已知T屬於L(V,W)。且B={α_1,α_2,....,α_n} is a basis of V。 試證:T_1(α)=T_2(α)，對於每一個α屬於V <=> T_1(α_i)=T_2(α_i)，i=1,2,...,n 11. 已知T屬於L(V,W)。 試證:dim(V)=null(T)+rank(T) 12. 試判別S_1={(x_1,...,x_n)|x_1≧0}與S_2={(x_1,...,x_n)|3x_1+3x_2=x_3} 是否為R^n的子空間。 13. 試求S_1={(x -x )| x,y,z 屬於R}之基底 y z 14. 試求含{(1,-1,1),(1,1,1)}的一組R^3基底 15. 試判別T_1(x,y)=(y,x)與T_2(x,y)=(sinx,y)是否為R^2 -> R^的linear transformation 16. 求滿足T(1,-1,1)=(0,0)，T(1,1,1)=(0,1)的線性變換T:R^3->R^2 17. 求T(x,y,z)=(x-y+2z , 2x+y , -x-2y+2z)的ker(T),null(T),T(V),rank(T) 18. B 試求T(x,y)=(4x-2y,2x+y)對應bsais B={(1,1),(2,1)}之代表矩陣(T) B 19. 1 1 1 試用代表矩陣的手法，求A= ( 1 1 0 )之反矩陣A^(-1) 1 0 0 20. 試求L(R^2,R^3)的一組基底 -- 唸書真的是一件美好的事情 一點一點 覺得腦袋更加充實了點 真的有抓住什麼東西的感覺 和電玩帶給人的愉悅 是兩種不同層次的享受 想知道更多更多 想要更清楚所有的一切 更加的了解這個世界和人事物 它的運轉 它的架構 它的關係 它的演變 它所有的所有 一種純粹而美好的乾淨欲望 --

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