※ 引述《cpfmarnbg (秋蟲回音)》之銘言： : ※ 引述《gingkoginkgo (人中拉拉!)》之銘言： : : 代課老師上的那邊啊 ln(1+x)的部份似乎有誤的樣子 : : 代課老師展開式出來是Σ(-1)^n‧(x)^n : 這東西應該不是正確的 : : 老師展開式出來是Σ[(-1)^(n+1)‧(x)^n] / n : f(x)=ln(x+1) : f(x)在'a'點附近的表現 : =f(a)+[f^(1)(a)](x-a)+{[f^(2)(a)](x-a)^2}/2!+{[f^(3)(a)](x-a)^3}/3!+... : 以上是泰勒展開式 如果a=0則亦可稱為馬克勞倫方程式 : 所以 : f^(1)(x)=(x+1)^(-1) : f^(2)(x)=(-1)(x+1)^(-2) : f^(3)(x)=(-1)(-2)(x+1)^(-3) : . : . : . : 代回泰勒展開式 : f(x)在'0'點附近的表現 : =f(0)+[f^(1)(0)](x-0)+{[f^(2)(0)](x-0)^2}/2!+{[f^(3)(0)](x-0)^3}/3!+... : = ln(0+1) : +(0+1)^(-1)(x-0) : +[(-1)(0+1)^(-2)(x-0)^2]/2! : +[(-1)(-2)(0+1)^(-3)(x-0)^3]/3! : 簡化一下 : ln(1)=0 : (0+1)^(-n)=1 (任何數除1都不會改變 所以這東西直接忽略) : 2!=1*2=2 : 3!=1*2*3 剛好會跟上面的(-1)(-2)抵銷 所以剩下3 : n!的處理也是一樣(正副號後面再考慮) : 所以最後得到 : 0+x-(x^2)/2+(x^3)/3-(x^4)/4... : =Σ[(-1)^(n+1)*(x^n)]/n <<<教授的式子 : 之所以(-1)^(n+1) 因為ln(1)的0不用寫到式子中 所以n從1開始跳 : 又 1.3.5項必須為正 2.4.6項必須為負 故使用(n+1) : : 好像差很多 囧(至少我完全看不出來這兩個相等的可能性) : : 後面的收斂半徑也有問題 @_@ : : 老師->沒講 : : 代課老師-> 要x屬於(-1,1] 不過我查到wiki都是說 for all x > -1 即可 : : sinx的展開式沒錯 不過範圍也是和網路查到都不一樣 : : 代課老師-> 要x屬於[-1,1] wiki是 for all x 屬於 R 即可 : : http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B3%B0%E5%8B%92%E7%BA%A7%E6%95%B0 : : 還是是我認知哪邊誤會了什麼 (ノ°Д°)八(°Д°)ノ : : 所以說，誰來救我微積分啊Q口Q : 至於收斂半徑 = = : 挖碼母災訝 = w = : 騙P幣騙P幣... : 以上均不付任何責任 : 歡迎指正... : (其實這麼亂的東西有人會看咩 = w =) 好我剛剛又逛了一下...總之因為剛剛騙得不夠的關係我決定多騙一點= = 根據W百科 一個冪級數f(x)=ΣCn(x-a)^n (Cn為其第n項的係數) 收斂半徑r=lim(n->∞)|Cn/C(n+1)| 如此代入剛剛的f(x)=Σ[(-1)^(n+1)*(x^n)]/n Cn=[(-1)^(n+1)]/n C(n+1)=(-1)^(n+2)/n+1 |Cn/C(n+1)|=n/n+1 (因為有絕對值且n>0 所以所有有關(-1)這東西的可以忽視) lim(n->∞)(n/n+1)=1 所以其收斂半徑為1 也就是說 收斂區間為 '0'+-1 = (-1,1) (因為剛剛的泰勒展開式我們取'0'點做展開) 然後再考慮端點 1和-1代回f(x) f(1)=Σ[(-1)^(n+1)*(1^n)]/n =Σ[(-1)^(n+1)]/n 以交錯審斂法知其收斂 (lim(n->∞)1/n=0) 故端點'1'包含於收斂區間 f(-1)=Σ[(-1)^(n+1)*((-1)^n)]/n =Σ[(-1)^(2n+1)]/n =-Σ(1/n) 因為2n+1恆為奇數 (-1)^(2n+1)恆為-1 以積分審斂法知其發散...(因為Σ(1/n)發散 加了一個'-'的-Σ(1/n)當然發散) 所以不包含端點-1 綜合以上 其收斂半徑r為1 收斂區間為(-1,1] (包含1但不包含-1) 所以...教授是對的... 這次能騙多少咧=w= 補充證明W百科的錯誤 "代課老師-> 要x屬於(-1,1] 不過我查到wiki都是說 for all x > -1 即可" 簡單的將x=2代入 Σ[(-1)^(n+1)*(2^n)]/n 使用第N項審斂法 lim(n->∞)|[(-1)^(n+1)*(2^n)]/n| =\= 0 故發散 --

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