※ 引述《cpfmarnbg (秋虫回音)》之铭言： : ※ 引述《gingkoginkgo (人中拉拉!)》之铭言： : : 代课老师上的那边啊 ln(1+x)的部份似乎有误的样子 : : 代课老师展开式出来是Σ(-1)^n‧(x)^n : 这东西应该不是正确的 : : 老师展开式出来是Σ[(-1)^(n+1)‧(x)^n] / n : f(x)=ln(x+1) : f(x)在'a'点附近的表现 : =f(a)+[f^(1)(a)](x-a)+{[f^(2)(a)](x-a)^2}/2!+{[f^(3)(a)](x-a)^3}/3!+... : 以上是泰勒展开式 如果a=0则亦可称为马克劳伦方程式 : 所以 : f^(1)(x)=(x+1)^(-1) : f^(2)(x)=(-1)(x+1)^(-2) : f^(3)(x)=(-1)(-2)(x+1)^(-3) : . : . : . : 代回泰勒展开式 : f(x)在'0'点附近的表现 : =f(0)+[f^(1)(0)](x-0)+{[f^(2)(0)](x-0)^2}/2!+{[f^(3)(0)](x-0)^3}/3!+... : = ln(0+1) : +(0+1)^(-1)(x-0) : +[(-1)(0+1)^(-2)(x-0)^2]/2! : +[(-1)(-2)(0+1)^(-3)(x-0)^3]/3! : 简化一下 : ln(1)=0 : (0+1)^(-n)=1 (任何数除1都不会改变 所以这东西直接忽略) : 2!=1*2=2 : 3!=1*2*3 刚好会跟上面的(-1)(-2)抵销 所以剩下3 : n!的处理也是一样(正副号後面再考虑) : 所以最後得到 : 0+x-(x^2)/2+(x^3)/3-(x^4)/4... : =Σ[(-1)^(n+1)*(x^n)]/n <<<教授的式子 : 之所以(-1)^(n+1) 因为ln(1)的0不用写到式子中 所以n从1开始跳 : 又 1.3.5项必须为正 2.4.6项必须为负 故使用(n+1) : : 好像差很多 囧(至少我完全看不出来这两个相等的可能性) : : 後面的收敛半径也有问题 @_@ : : 老师->没讲 : : 代课老师-> 要x属於(-1,1] 不过我查到wiki都是说 for all x > -1 即可 : : sinx的展开式没错 不过范围也是和网路查到都不一样 : : 代课老师-> 要x属於[-1,1] wiki是 for all x 属於 R 即可 : : http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B3%B0%E5%8B%92%E7%BA%A7%E6%95%B0 : : 还是是我认知哪边误会了什麽 (ノ°Д°)八(°Д°)ノ : : 所以说，谁来救我微积分啊Q口Q : 至於收敛半径 = = : 挖码母灾讶 = w = : 骗P币骗P币... : 以上均不付任何责任 : 欢迎指正... : (其实这麽乱的东西有人会看咩 = w =) 好我刚刚又逛了一下...总之因为刚刚骗得不够的关系我决定多骗一点= = 根据W百科 一个幂级数f(x)=ΣCn(x-a)^n (Cn为其第n项的系数) 收敛半径r=lim(n->∞)|Cn/C(n+1)| 如此代入刚刚的f(x)=Σ[(-1)^(n+1)*(x^n)]/n Cn=[(-1)^(n+1)]/n C(n+1)=(-1)^(n+2)/n+1 |Cn/C(n+1)|=n/n+1 (因为有绝对值且n>0 所以所有有关(-1)这东西的可以忽视) lim(n->∞)(n/n+1)=1 所以其收敛半径为1 也就是说 收敛区间为 '0'+-1 = (-1,1) (因为刚刚的泰勒展开式我们取'0'点做展开) 然後再考虑端点 1和-1代回f(x) f(1)=Σ[(-1)^(n+1)*(1^n)]/n =Σ[(-1)^(n+1)]/n 以交错审敛法知其收敛 (lim(n->∞)1/n=0) 故端点'1'包含於收敛区间 f(-1)=Σ[(-1)^(n+1)*((-1)^n)]/n =Σ[(-1)^(2n+1)]/n =-Σ(1/n) 因为2n+1恒为奇数 (-1)^(2n+1)恒为-1 以积分审敛法知其发散...(因为Σ(1/n)发散 加了一个'-'的-Σ(1/n)当然发散) 所以不包含端点-1 综合以上 其收敛半径r为1 收敛区间为(-1,1] (包含1但不包含-1) 所以...教授是对的... 这次能骗多少咧=w= 补充证明W百科的错误 "代课老师-> 要x属於(-1,1] 不过我查到wiki都是说 for all x > -1 即可" 简单的将x=2代入 Σ[(-1)^(n+1)*(2^n)]/n 使用第N项审敛法 lim(n->∞)|[(-1)^(n+1)*(2^n)]/n| =\= 0 故发散 --

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