※ [本文轉錄自 NTU-Exam 看板] 作者: argie (littlecan) 看板: NTU-Exam 標題: [試題] 95上 史 英 微積乙 期末考 時間: Thu Jan 25 03:56:12 2007 課程名稱︰微積分乙上 課程性質︰必修 課程教師︰史英 開課學院： 開課系所︰醫學院各系、生科、農化、公衛 考試日期（年月日）︰07.01.16 考試時限（分鐘）：120分鐘 是否需發放獎勵金：是 （如未明確表示，則不予發放） 試題 : 1.設曲線以極座標r=r(θ)表示，而( )'代表對θ微分，試導出：(20分) 2 2 2(r') +r -r×r'' 曲率κ=------------------ 2 2 3/2 [(r') +r ] [提示：計算中要用到以dr/dθ、ds/dθ表出φ的三角函數， 可以從曲線上dθ所造成的小三角形得到；前述的φ，代表切線與向徑的夾角。] 2 2.設有拋物線y=x a.求其在原點的曲率圓；(7分) b.判斷在原點附近，這拋物線是在其曲率圓之外，或之內？並述理由；(7分) 2 c.試對y=x 這個函數做適當修改，以改變「b.」的判斷結果。(7分) (將之內變成之外，或反之) 3.試依下列步驟證明泰勒定理，假設f在a附近n+1次可微分 (n) f (a) n a.令g(a)=f(a)+f'(a)(x-a)+......+-------(x-a) ，計算g'(a)；(7分) n! [將x視為常數，對a微分] n+1 b.令h(a)=(x-a) ， 並對h(a)和g(a)應用Cauchy's Mean Value Theorem；(7分) c.整理「b.」的結果， 導出f(x)可以寫成其n次泰勒多項式及餘項(remainder)之和。(6分) 4.關於展開成無窮級數，請完成以下二小題 x x a.利用泰勒定理寫出函數e 的無窮級數展開式，並證明該無窮級數之和確實為e 。 (10分) b.試舉一個無窮多次可微分的函數，它不能展開為無窮泰勒級數。 -1/x^2 [提示：考慮e 。](10分) 5.關於極限的存在，請完成以下兩小題 a.設當x→a時，f(x)的極限「存在」，證明：對於每一正數ε，必存在有正數δ， 使得 0<|x-a|<δ 且 0<|y-a|<δ => |f(x)-f(y)|<ε(8分) b.利用「a.」証明：x→0，f(x)=sin(1/x)的極限不存在。(7分) 6.若f(x)滿足「存在δ>0，對於所有ε>0，0<|x-2|<δ => |f(x)-3|<ε」這個條件， 那麼它會是怎樣的一個函數？ 可以從前述條件推得關於f(2)的消息嗎？ 何故？(15分) 7.有任何拿手的題目沒被問到嗎？自出一題自解之。 (題目必須與本課程有關，而其難易度也列入評分) (10分) [本考卷共120分，得分超過100分者以100分計，可以自由作答。 (任一題的部分答對的分數都算)] --

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