※ [本文转录自 NTU-Exam 看板] 作者: argie (littlecan) 看板: NTU-Exam 标题: [试题] 95上 史 英 微积乙 期末考 时间: Thu Jan 25 03:56:12 2007 课程名称︰微积分乙上 课程性质︰必修 课程教师︰史英 开课学院： 开课系所︰医学院各系、生科、农化、公卫 考试日期（年月日）︰07.01.16 考试时限（分钟）：120分钟 是否需发放奖励金：是 （如未明确表示，则不予发放） 试题 : 1.设曲线以极座标r=r(θ)表示，而( )'代表对θ微分，试导出：(20分) 2 2 2(r') +r -r×r'' 曲率κ=------------------ 2 2 3/2 [(r') +r ] [提示：计算中要用到以dr/dθ、ds/dθ表出φ的三角函数， 可以从曲线上dθ所造成的小三角形得到；前述的φ，代表切线与向径的夹角。] 2 2.设有抛物线y=x a.求其在原点的曲率圆；(7分) b.判断在原点附近，这抛物线是在其曲率圆之外，或之内？并述理由；(7分) 2 c.试对y=x 这个函数做适当修改，以改变「b.」的判断结果。(7分) (将之内变成之外，或反之) 3.试依下列步骤证明泰勒定理，假设f在a附近n+1次可微分 (n) f (a) n a.令g(a)=f(a)+f'(a)(x-a)+......+-------(x-a) ，计算g'(a)；(7分) n! [将x视为常数，对a微分] n+1 b.令h(a)=(x-a) ， 并对h(a)和g(a)应用Cauchy's Mean Value Theorem；(7分) c.整理「b.」的结果， 导出f(x)可以写成其n次泰勒多项式及余项(remainder)之和。(6分) 4.关於展开成无穷级数，请完成以下二小题 x x a.利用泰勒定理写出函数e 的无穷级数展开式，并证明该无穷级数之和确实为e 。 (10分) b.试举一个无穷多次可微分的函数，它不能展开为无穷泰勒级数。 -1/x^2 [提示：考虑e 。](10分) 5.关於极限的存在，请完成以下两小题 a.设当x→a时，f(x)的极限「存在」，证明：对於每一正数ε，必存在有正数δ， 使得 0<|x-a|<δ 且 0<|y-a|<δ => |f(x)-f(y)|<ε(8分) b.利用「a.」证明：x→0，f(x)=sin(1/x)的极限不存在。(7分) 6.若f(x)满足「存在δ>0，对於所有ε>0，0<|x-2|<δ => |f(x)-3|<ε」这个条件， 那麽它会是怎样的一个函数？ 可以从前述条件推得关於f(2)的消息吗？ 何故？(15分) 7.有任何拿手的题目没被问到吗？自出一题自解之。 (题目必须与本课程有关，而其难易度也列入评分) (10分) [本考卷共120分，得分超过100分者以100分计，可以自由作答。 (任一题的部分答对的分数都算)] --

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