寓數學於魔術方塊 科學人雜誌 玩魔術方塊的樂趣不只轉一轉而已，其中的數學也大有學問，各式各樣的方 塊更要你大開眼界！ 魔術方塊， 廣東話稱做「扭力骰」，英文為「Rubik’s Cube」，它是在 1974年由匈牙利的建築系教授魯比克（ErnRubik）所發明，一開始他只是突發奇 想地問學生，如何設計一個3×3×3的方塊，讓人可以轉動，又不會散開來？結 果真的有學生做出來了，它的中心結構如右頁下方插圖，並且一直沿用至今。最 初這個方塊是用木頭做的，經過上色之後，才發現要還原它是一件非常困難的事 ，因此有人提議將上色的方塊做成益智玩具出售。 魯比克也在1975年為他的魔術方塊申請了專利，1979年風行於歐洲，當時風 靡的程度，幾乎是人手一顆。電影「當幸福來敲門」（Pursuit of Happyness） 就是改編於這個時期發生的一個真實故事，威爾史密斯飾演的主角賈納是一個窮 途潦的低收入戶，為了應徵某證券公司的實習職缺，投了上百封的履歷都石沉大 海；是在某次下班時，假藉順路之由厚著臉皮跟公司經理上了計程車，一路上賈 納口沫橫飛地為自己爭取工作機會，經理卻一個字也沒聽進去，因為他正專心轉 著手上的魔術方塊；後來賈納幫經理完成了手上的方塊，也因此贏得了到公司實 習的機會。電影中的計程車司機邊開車，手上也邊拿著一個魔術方塊在轉，可見 當時魔術方塊流行的程度。 臺灣的魔術方塊從1990年代開始流行，從一顆要價數百元，逐漸普及到只要 幾十塊就可以在夜市或路邊攤買到。筆者所認識的兩位對臺灣魔術方塊界貢獻良 多的愛好者，一位是1990年左右臺大魔術社第二屆社長趙承宗，他後來「退隱江 湖」了；另一位是2004年左右成立交大魔術社的鄭維駿，現在正在美國康乃爾大 學讀電子工程研究所。看起來，似乎喜歡玩魔術的人，都會喜歡玩魔術方塊。 背公式解魔方 魔術方塊發展了近30年了，最短破解時間的世界紀錄每年都在翻新，除了玩 家不斷的練習、心得交流之外，靠的就是公式的不斷改進。事實上，坊間流傳的 解法很多，不過最常見的就是依一層一層的順序來完成。第一層相信讀者只要把 玩個幾十分鐘應該就會了；第二層大概就需要有人指導，才能夠了解其中的邏輯 ；第三層則很少有人能夠獨立想出解法，原因是要把第三層轉好，又要維持前兩 層不被打亂，非常困難，這也是魔術方塊的精神所在。所幸前人已經整理出不少 第三層的公式，只要能夠看得懂公式的運作，照著公式就能轉好。 公式可以分成兩種類型，一種適合初學者，另一種適合追求極速的玩家 （speedcuber）。適用於初學者的公式，講求的就是盡量好記，能夠花最少的時 間學會如何完成魔術方塊，避免因為背得頭昏腦脹而半途而廢。坊間有人宣稱只 要四個公式即能完成魔術方塊，或是只要三個、兩個，甚至不用公式。少一、兩 個公式的原因，只是把公式的記憶轉嫁到公式的判斷上，必須花更多的時間去記 「發生什麼情況時，要做什麼事情」，反而記憶的東西更多。因此如何設計一個 容易記憶、讓空間概念不好的人也能學會轉魔術方塊、隔幾個月沒玩還是能夠記 得、真正適合初學者的公式公式，其實也是值得探討的課題。至於要能夠在半分 鐘、甚至10秒內就完成方塊的公式，所講求的目標完全不同。追求極速的玩家， 會發自內心有一股熱忱，為了多快一、兩秒，再多公式也背得起來。此類公式的 訴求就是省時間，不管是「判斷時間」或是「轉的時間」都要盡量的減少，這種 我們稱做「速解魔方」（speedcubing）。速解魔方公式的始祖是美國賓漢頓大 學教授弗雷德里奇（JessicaFridrich），她設計了70幾個公式，宣稱17秒能完 成方塊，現今速解魔方玩家的公式大多改編自她的公式。 很多人都難以置信，為什麼有人可以不到10秒就轉好一個方塊？其實，除了 背多一點公式外，就只有「練習再練習」。這就好比學倉頡或無蝦米這種字根式 的輸入法，一開始要慢慢背各種字根，然後學習看到一個中文字，就知道怎麼拆 碼，最後就是一天打上個一、兩個小時，練到後來，看到字，都是非常直覺地打 出來，完全不經思考。魔術方塊要轉得快，一開始也是慢慢背針對各種情況的公 式，然後每天練個一、兩個小時，練到能以直覺反應來轉的程度，眼睛一瞥，手 就自動迅速地轉了起來；所以常常看到有人可以轉非常快，但請他慢慢轉，他反 而轉不出來。 上帝的數字 其實魔術方塊不只好玩，它在數學上用到了極多代數中的李群、群論，還有 一些離散數學及機率。其實有機會上這些課的時候，都可以想想它在魔術方塊上 的應用，純理論的課會因此變得生動些。 魔術方塊發展至今已有不少研究了，其中最大的課題就是「任意的三階魔術 方塊，可以保證最少幾步完成？」1982年佛雷（Alexander H. Frey, Jr.）與辛 馬斯特（David Singmaster）合著的《魔術方塊手冊》（Handbook of Cubik） 裡，稱這個答案為「上帝的數字」（God's number），並證明這個數字介於 17~52之間；也就是說，任意亂的情況，都可以在52步內完成，而且有一些情況保 證至少要17步才能完成，書中並猜測上帝的數字為20。 這裡就要談到怎麼樣才算「一步」，常見的有兩種算法：一種是只要把一個 面轉90度就算一步，稱做「quarter turnmetric」（QTM）；另一種是轉動一個 面算一步，不管轉幾度，稱做「face turnmetric」（FTM）。QTM中若把一個面 轉180度，就算兩步，而在FTM中只算了一步，因此FTM的數字會比QTM的少，而一 般沒特別指明的話，都是用FTM來計數。 1995年，美國玩家瑞德（M i c h a e lRaid）證明了某些情況至少需要20 步才能完成，他將這些情況稱做「Superflip」，同時，他也證明了可以在29步 內完成所有的方塊（QTM為42步），一口氣把上帝的數字範圍縮小到20~29之間。 2006年，雷杜（Silviu Radu）用群論證明了上界可以再縮小到27步（QTM為34 步），他將所有的情況分成幾類，並借助離散代數系統（GAP）證明出在27步內 都能完成。 1990年，美國東北大學的電腦科學家古柏曼（Gene Cooperman）等人，在 一個談代數編碼的研討會上，發表了「2×2×2的方塊皆可在11步內（QTM為14 步）完成」；2007年，古柏曼與他的學生庫柯爾（Daniel Kunkle）將這個方法 推廣到3×3×3的方塊上，設計了一個平行演算法，用20臺超級電腦花了8000個 小時，證明出26步內可以完成。2008年，美國史丹佛大學的羅區奇（Tomas Rokicki）繼證明25步即可完成後，5月又在「魔方領域」（Domain of the CubeForum）論壇中更進一步證明了23步即可完成，震驚了整個魔方界，不過這 些結果到目前還沒有正式的論文出來。 -- 大弦嘈嘈如急雨，小弦切切如私語。 嘈嘈切切錯雜彈，大珠小珠落玉盤。 間關鶯語花底滑，幽咽泉流水下灘。 水泉冷澀弦凝絕，凝絕不通聲漸歇。 別有幽愁暗恨生，此時無聲勝有聲。 銀瓶乍破水漿迸，鐵騎突出刀槍鳴。 曲終收撥當心畫，四弦一聲如裂帛。 東船西舫悄無言，唯見江心秋月白。 --

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