寓数学於魔术方块 科学人杂志 玩魔术方块的乐趣不只转一转而已，其中的数学也大有学问，各式各样的方 块更要你大开眼界！ 魔术方块， 广东话称做「扭力骰」，英文为「Rubik’s Cube」，它是在 1974年由匈牙利的建筑系教授鲁比克（ErnRubik）所发明，一开始他只是突发奇 想地问学生，如何设计一个3×3×3的方块，让人可以转动，又不会散开来？结 果真的有学生做出来了，它的中心结构如右页下方插图，并且一直沿用至今。最 初这个方块是用木头做的，经过上色之後，才发现要还原它是一件非常困难的事 ，因此有人提议将上色的方块做成益智玩具出售。 鲁比克也在1975年为他的魔术方块申请了专利，1979年风行於欧洲，当时风 靡的程度，几乎是人手一颗。电影「当幸福来敲门」（Pursuit of Happyness） 就是改编於这个时期发生的一个真实故事，威尔史密斯饰演的主角贾纳是一个穷 途潦的低收入户，为了应徵某证券公司的实习职缺，投了上百封的履历都石沉大 海；是在某次下班时，假藉顺路之由厚着脸皮跟公司经理上了计程车，一路上贾 纳口沫横飞地为自己争取工作机会，经理却一个字也没听进去，因为他正专心转 着手上的魔术方块；後来贾纳帮经理完成了手上的方块，也因此赢得了到公司实 习的机会。电影中的计程车司机边开车，手上也边拿着一个魔术方块在转，可见 当时魔术方块流行的程度。 台湾的魔术方块从1990年代开始流行，从一颗要价数百元，逐渐普及到只要 几十块就可以在夜市或路边摊买到。笔者所认识的两位对台湾魔术方块界贡献良 多的爱好者，一位是1990年左右台大魔术社第二届社长赵承宗，他後来「退隐江 湖」了；另一位是2004年左右成立交大魔术社的郑维骏，现在正在美国康乃尔大 学读电子工程研究所。看起来，似乎喜欢玩魔术的人，都会喜欢玩魔术方块。 背公式解魔方 魔术方块发展了近30年了，最短破解时间的世界纪录每年都在翻新，除了玩 家不断的练习、心得交流之外，靠的就是公式的不断改进。事实上，坊间流传的 解法很多，不过最常见的就是依一层一层的顺序来完成。第一层相信读者只要把 玩个几十分钟应该就会了；第二层大概就需要有人指导，才能够了解其中的逻辑 ；第三层则很少有人能够独立想出解法，原因是要把第三层转好，又要维持前两 层不被打乱，非常困难，这也是魔术方块的精神所在。所幸前人已经整理出不少 第三层的公式，只要能够看得懂公式的运作，照着公式就能转好。 公式可以分成两种类型，一种适合初学者，另一种适合追求极速的玩家 （speedcuber）。适用於初学者的公式，讲求的就是尽量好记，能够花最少的时 间学会如何完成魔术方块，避免因为背得头昏脑胀而半途而废。坊间有人宣称只 要四个公式即能完成魔术方块，或是只要三个、两个，甚至不用公式。少一、两 个公式的原因，只是把公式的记忆转嫁到公式的判断上，必须花更多的时间去记 「发生什麽情况时，要做什麽事情」，反而记忆的东西更多。因此如何设计一个 容易记忆、让空间概念不好的人也能学会转魔术方块、隔几个月没玩还是能够记 得、真正适合初学者的公式公式，其实也是值得探讨的课题。至於要能够在半分 钟、甚至10秒内就完成方块的公式，所讲求的目标完全不同。追求极速的玩家， 会发自内心有一股热忱，为了多快一、两秒，再多公式也背得起来。此类公式的 诉求就是省时间，不管是「判断时间」或是「转的时间」都要尽量的减少，这种 我们称做「速解魔方」（speedcubing）。速解魔方公式的始祖是美国宾汉顿大 学教授弗雷德里奇（JessicaFridrich），她设计了70几个公式，宣称17秒能完 成方块，现今速解魔方玩家的公式大多改编自她的公式。 很多人都难以置信，为什麽有人可以不到10秒就转好一个方块？其实，除了 背多一点公式外，就只有「练习再练习」。这就好比学仓颉或无虾米这种字根式 的输入法，一开始要慢慢背各种字根，然後学习看到一个中文字，就知道怎麽拆 码，最後就是一天打上个一、两个小时，练到後来，看到字，都是非常直觉地打 出来，完全不经思考。魔术方块要转得快，一开始也是慢慢背针对各种情况的公 式，然後每天练个一、两个小时，练到能以直觉反应来转的程度，眼睛一瞥，手 就自动迅速地转了起来；所以常常看到有人可以转非常快，但请他慢慢转，他反 而转不出来。 上帝的数字 其实魔术方块不只好玩，它在数学上用到了极多代数中的李群、群论，还有 一些离散数学及机率。其实有机会上这些课的时候，都可以想想它在魔术方块上 的应用，纯理论的课会因此变得生动些。 魔术方块发展至今已有不少研究了，其中最大的课题就是「任意的三阶魔术 方块，可以保证最少几步完成？」1982年佛雷（Alexander H. Frey, Jr.）与辛 马斯特（David Singmaster）合着的《魔术方块手册》（Handbook of Cubik） 里，称这个答案为「上帝的数字」（God's number），并证明这个数字介於 17~52之间；也就是说，任意乱的情况，都可以在52步内完成，而且有一些情况保 证至少要17步才能完成，书中并猜测上帝的数字为20。 这里就要谈到怎麽样才算「一步」，常见的有两种算法：一种是只要把一个 面转90度就算一步，称做「quarter turnmetric」（QTM）；另一种是转动一个 面算一步，不管转几度，称做「face turnmetric」（FTM）。QTM中若把一个面 转180度，就算两步，而在FTM中只算了一步，因此FTM的数字会比QTM的少，而一 般没特别指明的话，都是用FTM来计数。 1995年，美国玩家瑞德（M i c h a e lRaid）证明了某些情况至少需要20 步才能完成，他将这些情况称做「Superflip」，同时，他也证明了可以在29步 内完成所有的方块（QTM为42步），一口气把上帝的数字范围缩小到20~29之间。 2006年，雷杜（Silviu Radu）用群论证明了上界可以再缩小到27步（QTM为34 步），他将所有的情况分成几类，并借助离散代数系统（GAP）证明出在27步内 都能完成。 1990年，美国东北大学的电脑科学家古柏曼（Gene Cooperman）等人，在 一个谈代数编码的研讨会上，发表了「2×2×2的方块皆可在11步内（QTM为14 步）完成」；2007年，古柏曼与他的学生库柯尔（Daniel Kunkle）将这个方法 推广到3×3×3的方块上，设计了一个平行演算法，用20台超级电脑花了8000个 小时，证明出26步内可以完成。2008年，美国史丹佛大学的罗区奇（Tomas Rokicki）继证明25步即可完成後，5月又在「魔方领域」（Domain of the CubeForum）论坛中更进一步证明了23步即可完成，震惊了整个魔方界，不过这 些结果到目前还没有正式的论文出来。 -- 大弦嘈嘈如急雨，小弦切切如私语。 嘈嘈切切错杂弹，大珠小珠落玉盘。 间关莺语花底滑，幽咽泉流水下滩。 水泉冷涩弦凝绝，凝绝不通声渐歇。 别有幽愁暗恨生，此时无声胜有声。 银瓶乍破水浆迸，铁骑突出刀枪鸣。 曲终收拨当心画，四弦一声如裂帛。 东船西舫悄无言，唯见江心秋月白。 --

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