選舉的數學理論淺釋 單維彰 不同的選舉程序，會造成不同的選舉結果；只要候選的對象超過2個，幾 乎就不存在「公道」的選舉程序！ 讓我們從一個假設的情境開始。有15位同學負責籌辦一場同樂會，因經費 和人力的限制，他們決定只提供一種冰飲。至於提供哪一種，則有3種意見僵持 不下：冰紅茶（T）、啤酒（B）、雞尾酒（C）。他們決定用最民主的方式解決 紛爭：不記名投票。大家不假思索地舉行了最常見的選舉模式：一人一票、投 給自己認為最適當的飲料、以獲得最高票數的飲料獲勝。開票結果是 T︰B︰C = 6︰5︰4，冰紅茶獲勝。 理性選舉？ 也許那個籌備會議可以繼續進行下一項討論了。但是，某個人開始咕噥， 另一個人聽到了就大聲一點兒附和，第三個人也開始埋怨，一股不安的情緒突 然爆發了！投票給冰紅茶的人要其他人表現民主風度：「少數服從多數嘛！」 可是，有人說：「畢竟有9個人不喜歡冰紅茶啊！」在騷動中，情緒似乎有點 兒失控，許多人七嘴八舌地嚷嚷著，說他們「最」不喜歡冰紅茶。 好吧，大家都是好朋友，別為了這種小事傷了和氣。有人提議另一種投票 方法，比較「公平」，就是所謂的「兩輪制」：把第一輪投票結果中最好的2 名取出來，所有人對這2個候選飲料再投一次票。如果能夠幫助大家和和氣氣 地達成共識，再投一次票也無妨，於是他們就照做了。第二輪的投票結果，竟 然是B：T＝9：6，啤酒獲勝。 這樣的結果真的解決歧見了嗎？很不幸地，不但沒有，他們之間變得更針 鋒相對！看起來，喜歡喝茶的人一票也沒有動搖，但是那些失去了雞尾酒選項 的人，全部改去支持啤酒了。贊成喝茶的人難掩氣憤之情，說「你們這些想要 喝酒的人聯合起來欺負我們！」剛才他們至少還會熱烈的爭辯，現在情況更不 妙：他們彼此不說話了。 為了打破空氣中令人尷尬的沈默，又有一個人小心地提議，請大家拋棄成 見，再來一次。這一次，他提議一個「最科學」的作法：請每個人給每種飲料 一個分數，最喜歡的給2分，次喜歡的給1分，不喜歡的不給分，然後計算每種 飲料得到的分數總和，最高分的飲料獲勝。這聽起來畢竟是一個新奇的作法， 所以大家雖然意興闌珊，還是勉強同意了。15個人很小心地在選票上填寫了分 數，計算的結果是C：B：T＝19：14：12，雞尾酒獲勝。 有人哀號「怎麼會三次結果都不一樣？」有人大叫「我不玩了！」為什麼 三次投票得到三種結果？有人搞鬼嗎？有些人要和另一些人作對嗎？有人經常 改變主意作牆頭草嗎？不能怪這15個人不夠理性或是民主素養不足，選舉理論 想要闡述的是：這15個人並沒有什麼錯，而是不同的選舉程序會造成不同的選 舉結果。 選舉程序決定選舉結果 所謂選舉程序，就是一套根據選民所表達的意願將候選對象排序的規則。 這套規則包括了蒐集選民意見的規則和計算結果的規則。在數學上，選舉程序 被視為一個函數，它的輸入是一個集合，稱為「選民卷宗」，而輸出就是候選 對象的排序。如果有N個選民，卷宗裡就有N個元素；如果有K個選擇對象，卷 宗裡的每個元素就有K個項目。拿前面的飲料選舉情境來說，N＝15而K＝3。卷 宗裡面的一個元素代表每一位選民心目中對於選擇對象的優先順序。在前面的 例子裡，那15位籌備委員對於3種冰飲其實都已經心存定見。那個卷宗裡面應 該有15個元素，我們將同樣的優先順序合併在一起，只紀錄持同樣定見的選民 人數，記成以下表格： 卷宗一 人數 心目中的定見 6 T＞C＞B 5 B＞C＞T 4 C＞B＞T 除了透過選票表達之外，一般來說選民並不知道其他人心目中的定見。參 照以上卷宗，我們可以清楚地看到，那15位籌備委員在三次投票當中，其實都 是誠實而且理性地表達了個人心目中的定見。第一次「單票制」，每個人投票 給心目中的第一優先飲料，因此T：B：C＝6：5：4。第二次是讓T和B對決，每 個人按照心目中的相對順序投票給較優先者，所以B：T＝9：6。第三次讓他們 有機會完全表達對3種飲料的喜好程度，有6個人給T兩分、給C一分，有5個人 給B兩分、給C一分，有4個人給C兩分、給B一分，因此T共得12分、B共得14分、 C共得19分，也就是C：B：T＝19：14：12。 選舉理論中定義選民的「誠實」就是按照自己的定見投票（若不然，也不 稱為不誠實，而是「有策略」，選舉語言所謂的「棄誰保誰」就是策略之一） ；而所謂選民的「理性」就是其心目中的定見符合遞移律，也就是說，如果 A＞B，而且B＞C，那麼就一定要A＞C。如果問他冰紅茶或啤酒，他選擇冰紅茶 ，問啤酒或雞尾酒，他選擇啤酒，再問雞尾酒或冰紅茶，他若選雞尾酒，就違 背了遞移律，也就是不理性。 讀者或許會抗議：也許我昨天中午和今天晚上的心情不同，所以會做出所 謂「不理性」的選擇，那是「人性」呀！怎麼會是不理性？但我們現在談的是 投票當下的心中定見，因為情緒而改變心意的理由就不在討論的範圍裡了，好 像那些籌備委員，如果在第一次投票之後就決定了冰紅茶，雖然當時有9個人 不完全滿意，但在同樂會當晚或者會改變心意，覺得冰紅茶確實是最適當的飲 料也不一定。選舉理論要議論的是：選舉結果是否反應了選民在投票當下的心 中定見？ 那個籌備會議最終如何收場，已經不關我們的事，這個情境故事可以到此 結束。我們已經清楚地看到，就算那15位選民都誠實而且理性，只是因為採用 的選舉程序不同，就得到不同的結果。指責他們任何一個人都是無謂且錯誤的 ，只是選舉程序決定了選舉的結果。 讀者當然可以明白，雖然剛才的故事講的是15個人的選舉，就算改成一千 五百萬人的選舉，類似的情境還是會發生。再者，剛才的故事中只有3個選擇 對象，但只要選擇對象的個數K＞2，聰明的選舉理論學者就可以設計一套卷宗 、找到K種選舉程序，使得根據同一份卷宗，K種程序可以讓K個對象每一個都 獲勝一次！聽起來就像是數學家玩的把戲，不是嗎？但科學和社會的歷史可以 表明：不要嘲笑數學家玩的把戲，不管是多麼荒誕而不切實際的想法，只要給 數學家冥想出來，經常就會是發現吻合了科學或社會的某些現象。 每一個候選人可以各自擁抱一種讓自己獲勝的選舉程序？這聽起來還不夠 荒誕嗎？如果我們不仔細了解各種選舉程序造成的影響，因規就習地直接將某 種選舉程序奉為圭臬，讓它來主宰我們的生活，豈不是更荒唐可悲？這就是選 舉理論要探討的問題：究竟有沒有最「公道」的選舉程序？回答這個問題之前 ，當然要先討論：什麼叫做「公道」？ 選舉理論的濫觴 一般認為，選舉理論的正式開端是法國人Condorcet（1743-1794）於1785 年發表的「論數學分析應用於多數決之機率問題」。雖然Condorcet在16歲就 首次發表數學論文、25歲即因在積分學方面的出色研究表現而被選入法國科學 院，不過有人仍然評論他在數學與科學上的貢獻微不足道。相對地，Condorcet 被認為是「法國最後一位啟蒙哲學家」，他在法國大革命中扮演的角色，幾乎 就是美國獨立運動中的傑弗遜：作為一個關心平民的貴族知識份子，他起草憲 法、鼓吹宗教自由、擘畫教育、反對蓄奴。然而，法國大革命後來混亂得失去 了控制，一夜之間Condorcet從英雄變成通緝犯，入獄後第三天暴斃，未經審 判、死因不明。 Condorcet於1785年的論文裡面提出了一種選舉程序：他認為一個「公道」 的勝選者，必須是與所有其他候選人在捉對投票中都能獲勝的那個人。拿卷宗 一為例，Condorcet的程序要求選民對T和C投票、對T和B投票、還要對B和C各 投票一次，如果選民像卷宗一所示地誠實投票，則T：C＝6：9、T：B＝6：9、 B：C＝5：10，因為只有C能夠在2次捉對投票中都獲勝，所以C才是勝選者。 Condorcet自己也在論文中表明，他的選舉程序也有可能無法產生結果， 例如遇上以下這種卷宗： 卷宗二 人數 心目中的定見 5 T＞C＞B 5 C＞B＞T 5 B＞T＞C 那麼3次捉對投票的結果就是T：C＝10：5、C：B＝10：5、B：T＝10：5， 解讀為T＞C＞B＞T，甚至不符合遞移律，所以即使所有選民都是理性且誠實的 ，投票的結果卻顯得不理性！我們可以將這種情形解釋成「平手」，但那只是 我們的解釋而已，就實際開票結果而言，並不是平手。因此，當Condorcet程 序產生勝選者的時候，那的確是一個眾望所歸、沒有異議的勝選者；問題就是 ，它有太大的失敗機率，而且就算它可以成功，所耗費的社會成本也太高了。 這就是Borda（1733-1799）對Condorcet提出的質疑。一般的說法是Borda 在與Condorcet的辯論中提出了他的方法，如今所謂Borda Count法就是前述選 飲料的假想情境中，第三次投票的方法：每個選民對K個候選人嚴格排序，給 自己心目中排序第一的K-1分、排序第二的K-2分……直到排序倒數第二的1分、 最後一名0分。如同許多數學或科學的歷史，更晚期的史料表明Condorcet和 Borda都不是他們提倡的選舉程序的最初發明人。中古世紀一位傳奇的狂人 Llull就曾經發明過Condorcet的方法，而1433年Cusa批評Llull的方法並提出 自己的方法，Cusa提出的就是今天所謂的Borda Count。 Borda也是個有貴族背景的法國知識份子，他在20歲時提出一份幾何學方 面的論文、22歲在軍中獲得數學家的職位，他的生涯一直是學術與軍旅並行。 1776-1778年間，他還擔任艦長，帶著法國海軍越洋幫美國人打贏了獨立戰爭。 Borda影響我們最深的一件事，可能是他定義了「公尺」。原本有人建議以周 期為1秒的單擺長度作為公尺的定義，但Borda大力提倡用地球沿著某條經線從 北極到赤道的一千萬分之一作為公尺的定義。他的理由是要推動公尺作為國際 標準，如果使用地球的尺度作為長度定義，國際間就沒有反對的理由了。其實 ，我猜想Borda還有兩個私下的理由，其一是因Borda是當時最精於地表測量的 專家，這種公尺的定義使得他更有理由要製造更精確的儀器、對地球做更精確 的測量；其二是Borda是十進制的熱衷推動者，他的另一項計畫是推動一天10 小時、每小時100分鐘、每分鐘100秒的新時間單位，如果成功了，那秒的定義 就改變了，而根據秒所定義的長度單位也要跟著改變了。 選舉理論學者基本上都同意，如果不計成本，應該先執行Condorcet的方 法，如果產生優勝就好，否則就應該採用Borda的計分方法；但問題是，實際 上很難不計成本。不過，理論學者倒是利用Condorcet方法來協助判斷其他選 舉程序的優劣。他們在理論上探討許多（或者所有）可以讓Condorcet方法產 生優勝的卷宗，假設這個優勝是最具有代表性的當選者，然後比較其他選舉程 序產生其他優勝（也就是不夠恰當的結果）的機率如何。結果，在比較過的各 種選舉程序當中，最容易不符合Condorcet優勝的選舉程序，就是現在最常用 的「一人一票相對多數制」，也就是最前面假設情境中第一個採用的選舉方法。 雖然Condorcet和Borda的爭辯開啟了選舉理論，也為後代的學者鋪設了研 究的方法和典範。不過他們並沒有替「公道」下一個定論，當然也就不能討論 什麼選舉程序最「公道」。這個問題，還要再等166年，在二十世紀中葉，出 現的一個令人難受但是卻被普遍接受的結論。 Arrow的不可能定理 二十世紀出現了好幾個偉大的「不可能」定理，這些數學定理在哲學、經 濟、科學上，都產生深遠而根本的影響，其中一個就是Kenneth Arrow（1921-） 在1951年提出的博士論文Social Choice and Individual Values。Arrow於 1971年獲頒諾貝爾經濟學獎，他提出的定理又稱為「Arrow矛盾」，基本上是定 義了一套所謂「公道」的標準： （一）每一位選民的影響力都一樣；更進一步說，就是非獨裁的。 （二）選民除了不能不理性，更沒有任何關於心目中排序的限制。 （三）如果所有選民都認為A＞B，則選舉結果也一定要顯示出A＞B。 （四）選舉結果中關於A和B的排序，應該只根據卷宗內A和B的相對順序決 定，與任何第三者無關。 （五）如果所有選民都是理性地將選擇對象排序，而且誠實投票，則選舉 的結果也要顯示理性的排序。 讀者仔細想想，似乎上述五條「公道」的標準是再基本不過的了，這不都 是我們對於民主和平等的直覺認識嗎？大家實在沒有反對或挑剔的餘地。但如 果您也同意任何一個「公道」的選舉程序都要符合上述五個條件，我們就可以 據此設計「公道」的選舉程序，然後在所有「公道」的程序當中設法挑選「最 公道」的。但是，Arrow說，省省吧！如果選擇對象超過2個，根本不存在這種 選舉程序！ 如果只有2個候選人，許多已知的選舉程序其實都等於「相對多數制」 （因為只有2名，相對多數就是絕對多數），所有的選舉程序都會得到同樣的 結果，因此沒有「最公道」的問題，如同臺灣即將面臨的2004年總統大選， 只有2組候選人的時候，選舉程序不是值得擔心的問題。 但是，如果超過2個候選人，就居然不存在任何公道的選舉程序！這是一 個被證明的數學定理，而不是經驗法則，也不是實驗歸納的結論，如同許多人 在高中時代學習過的「不可能找到2個正整數n和m使得n^2 = 2*m^2」，不是我 們運氣不好，也不是我們不夠努力或不夠聰明，而是─不可能！ 我們已經知道Condorcet的方法違背了第五條，但Borda的方法哪裡出了問 題？其實，我們之前舉出的3種選舉程序都會違背第四條：只要假設在3種飲料 之外另外加上一種可能：冰咖啡（K），15位籌備委員並沒有改變原來3種飲料 的相對順序，只是把K插入某個位置而已，假設卷宗一變成了卷宗三： 卷宗三 人數 心目中的定見 4 T＞K＞C＞B 2 K＞T＞C＞B 5 B＞C＞K＞T 4 C＞B＞T＞K 如果用一人一票的方式來投票，每個人誠實地投給自己第一優先一票，就 得到B：T：C：K＝5：4：4：2，與原來T：B：C＝6：5：4的結果比較，我們發 現T和B的順序顛倒了：T和B的相對順序受到第三者K的干擾。 Arrow定理的最大眾解讀，就是說我們必須在殘缺的選舉程序和獨裁者之間 作一個選擇。這是多麼無奈的情況啊！有些政治學者將這個無奈訴諸道德，而 不是理性，認為人間本無完美。他們用Arrow定理當作證據，告誡政治人物即 使勝選也要謙沖為懷、與人善處。另一些堅持理性的學者，則企圖修改或鬆動 Arrow的五個「公道」條件，譬如「同意票制」就鬆動了第一條：每個選民決 定是否對每個候選人投同意票，因為每個人在心中劃下的界線不同，有些人或 許認為只同意自己心目中的第一優先，另外一些人或許會同意所有的候選人， 因此每個選民投出去的票數就不一樣多了。也有些人企圖設計稍微違背第二條 的選舉程序，然而，在Arrow之後半世紀，另一位數學經濟學教授Saari想要證 明，真正值得鬆動的是第四條。 Saari的修訂理論 2000年，Saari在Economic Theory發表2篇各50頁的論文，引起了相當的 重視和討論。Saari的論點之一是Arrow的第四和第五條件會互相「抵銷」； 既然假設選民是理性的（Arrow的證明當中用了這個假設），選舉程序應當要 儘可能地檢查選民是否真的理性，並儘可能有效地從卷宗當中剔除那不理性的 選民，比如將不理性的選票視為廢票。而Arrow的第四條件恰好限制了選舉程 序檢驗選民是否理性的能力。 在這個觀點下，「單一選票相對多數制」又顯示出它最大的弱點：它是最 不能檢驗不理性的制度，因此是最差勁的制度。因為在這制度之下，選票只反 應出來選民的第一優先，而完全遺失了其他的候選人資料，在選舉程序中無法 得知選民對第二優先以後的候選人的對待是理性還是不理性的。在這個哲學引 領之下，Saari提議修改Arrow的第四條，將之稍微放寬，只加上三個字： （四）選舉結果關於A和B的排序，應該只由卷宗內A和B的相對順序「和距 離」決定，與任何第三者無關。（「距離」的定義並不困難，但是需要多一點 的篇幅，筆者暫且割捨。） 如果我們可以接受將Arrow的第四條換成Saari的，而還是認為那是「公道」 的話，那麼Saari證明了：Borda Count選舉程序是「公道」的！當然，我們這 裡關心的是超過2個候選人的情形，本篇提到的其他選舉程序，在修改後的標準 下，都還是不夠公道。 結 語 讀者或許已經一邊讀一邊產生疑問，比如為什麼不討論兩票制選舉程序呢？ 為什麼沒提到對每個候選人投同意票的方法呢？為什麼不容許選民對部份選擇 對象不分高下，例如T＞（B＝C）？如何遏止或減少選民運用策略投票？其實， 選舉理論有非常豐富的發展，除了這裡介紹的「公道」定義之外，還有其他見 仁見智的看法，也還有可辯論的空間。選舉理論還跟社會福利法案的經濟數學 有關，又可以推展成工業、經濟各種方面的決策理論，那裡又有許多有趣而且 和我們的生活密切相關的問題了。 參考資料 1. D. Newman, 1998, 選舉理論及比例代表制，香港嶺南學院政治學與社 會學系報告（中譯本）。 2. J. J. O'Connor and E. F. Robertson, 1996-2003, The MacTutor History of Mathematics archive. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/ 3. D. G. Saari, 2001, Chaotic elections! A mathematician looks at voting, American Mathematical Society. 4. D. G. Saari, 2001, Decisions and elections, explaining the unexpected, Cambridge University Press. 單維彰：任教中央大學數學系 -- 趙客縵胡纓 吳鉤霜雪明 銀鞍照白馬 颯沓如流星 十步殺一人 千里不留行 事了拂衣去 深藏身與名 閒過信陵飲 脫劍膝前橫 將炙啖朱亥 持觴勸侯贏 三盃吐然諾 五嶽倒為輕 眼花耳熱後 意氣素霓生 救趙揮金槌 邯鄲先震驚 千秋二壯士 烜赫大梁城 縱使俠骨香 不慚世上英 誰能書閤下 白首太玄經 李白 俠客行 --

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