选举的数学理论浅释 单维彰 不同的选举程序，会造成不同的选举结果；只要候选的对象超过2个，几 乎就不存在「公道」的选举程序！ 让我们从一个假设的情境开始。有15位同学负责筹办一场同乐会，因经费 和人力的限制，他们决定只提供一种冰饮。至於提供哪一种，则有3种意见僵持 不下：冰红茶（T）、啤酒（B）、鸡尾酒（C）。他们决定用最民主的方式解决 纷争：不记名投票。大家不假思索地举行了最常见的选举模式：一人一票、投 给自己认为最适当的饮料、以获得最高票数的饮料获胜。开票结果是 T︰B︰C = 6︰5︰4，冰红茶获胜。 理性选举？ 也许那个筹备会议可以继续进行下一项讨论了。但是，某个人开始咕哝， 另一个人听到了就大声一点儿附和，第三个人也开始埋怨，一股不安的情绪突 然爆发了！投票给冰红茶的人要其他人表现民主风度：「少数服从多数嘛！」 可是，有人说：「毕竟有9个人不喜欢冰红茶啊！」在骚动中，情绪似乎有点 儿失控，许多人七嘴八舌地嚷嚷着，说他们「最」不喜欢冰红茶。 好吧，大家都是好朋友，别为了这种小事伤了和气。有人提议另一种投票 方法，比较「公平」，就是所谓的「两轮制」：把第一轮投票结果中最好的2 名取出来，所有人对这2个候选饮料再投一次票。如果能够帮助大家和和气气 地达成共识，再投一次票也无妨，於是他们就照做了。第二轮的投票结果，竟 然是B：T＝9：6，啤酒获胜。 这样的结果真的解决歧见了吗？很不幸地，不但没有，他们之间变得更针 锋相对！看起来，喜欢喝茶的人一票也没有动摇，但是那些失去了鸡尾酒选项 的人，全部改去支持啤酒了。赞成喝茶的人难掩气愤之情，说「你们这些想要 喝酒的人联合起来欺负我们！」刚才他们至少还会热烈的争辩，现在情况更不 妙：他们彼此不说话了。 为了打破空气中令人尴尬的沈默，又有一个人小心地提议，请大家抛弃成 见，再来一次。这一次，他提议一个「最科学」的作法：请每个人给每种饮料 一个分数，最喜欢的给2分，次喜欢的给1分，不喜欢的不给分，然後计算每种 饮料得到的分数总和，最高分的饮料获胜。这听起来毕竟是一个新奇的作法， 所以大家虽然意兴阑珊，还是勉强同意了。15个人很小心地在选票上填写了分 数，计算的结果是C：B：T＝19：14：12，鸡尾酒获胜。 有人哀号「怎麽会三次结果都不一样？」有人大叫「我不玩了！」为什麽 三次投票得到三种结果？有人搞鬼吗？有些人要和另一些人作对吗？有人经常 改变主意作墙头草吗？不能怪这15个人不够理性或是民主素养不足，选举理论 想要阐述的是：这15个人并没有什麽错，而是不同的选举程序会造成不同的选 举结果。 选举程序决定选举结果 所谓选举程序，就是一套根据选民所表达的意愿将候选对象排序的规则。 这套规则包括了蒐集选民意见的规则和计算结果的规则。在数学上，选举程序 被视为一个函数，它的输入是一个集合，称为「选民卷宗」，而输出就是候选 对象的排序。如果有N个选民，卷宗里就有N个元素；如果有K个选择对象，卷 宗里的每个元素就有K个项目。拿前面的饮料选举情境来说，N＝15而K＝3。卷 宗里面的一个元素代表每一位选民心目中对於选择对象的优先顺序。在前面的 例子里，那15位筹备委员对於3种冰饮其实都已经心存定见。那个卷宗里面应 该有15个元素，我们将同样的优先顺序合并在一起，只纪录持同样定见的选民 人数，记成以下表格： 卷宗一 人数 心目中的定见 6 T＞C＞B 5 B＞C＞T 4 C＞B＞T 除了透过选票表达之外，一般来说选民并不知道其他人心目中的定见。参 照以上卷宗，我们可以清楚地看到，那15位筹备委员在三次投票当中，其实都 是诚实而且理性地表达了个人心目中的定见。第一次「单票制」，每个人投票 给心目中的第一优先饮料，因此T：B：C＝6：5：4。第二次是让T和B对决，每 个人按照心目中的相对顺序投票给较优先者，所以B：T＝9：6。第三次让他们 有机会完全表达对3种饮料的喜好程度，有6个人给T两分、给C一分，有5个人 给B两分、给C一分，有4个人给C两分、给B一分，因此T共得12分、B共得14分、 C共得19分，也就是C：B：T＝19：14：12。 选举理论中定义选民的「诚实」就是按照自己的定见投票（若不然，也不 称为不诚实，而是「有策略」，选举语言所谓的「弃谁保谁」就是策略之一） ；而所谓选民的「理性」就是其心目中的定见符合递移律，也就是说，如果 A＞B，而且B＞C，那麽就一定要A＞C。如果问他冰红茶或啤酒，他选择冰红茶 ，问啤酒或鸡尾酒，他选择啤酒，再问鸡尾酒或冰红茶，他若选鸡尾酒，就违 背了递移律，也就是不理性。 读者或许会抗议：也许我昨天中午和今天晚上的心情不同，所以会做出所 谓「不理性」的选择，那是「人性」呀！怎麽会是不理性？但我们现在谈的是 投票当下的心中定见，因为情绪而改变心意的理由就不在讨论的范围里了，好 像那些筹备委员，如果在第一次投票之後就决定了冰红茶，虽然当时有9个人 不完全满意，但在同乐会当晚或者会改变心意，觉得冰红茶确实是最适当的饮 料也不一定。选举理论要议论的是：选举结果是否反应了选民在投票当下的心 中定见？ 那个筹备会议最终如何收场，已经不关我们的事，这个情境故事可以到此 结束。我们已经清楚地看到，就算那15位选民都诚实而且理性，只是因为采用 的选举程序不同，就得到不同的结果。指责他们任何一个人都是无谓且错误的 ，只是选举程序决定了选举的结果。 读者当然可以明白，虽然刚才的故事讲的是15个人的选举，就算改成一千 五百万人的选举，类似的情境还是会发生。再者，刚才的故事中只有3个选择 对象，但只要选择对象的个数K＞2，聪明的选举理论学者就可以设计一套卷宗 、找到K种选举程序，使得根据同一份卷宗，K种程序可以让K个对象每一个都 获胜一次！听起来就像是数学家玩的把戏，不是吗？但科学和社会的历史可以 表明：不要嘲笑数学家玩的把戏，不管是多麽荒诞而不切实际的想法，只要给 数学家冥想出来，经常就会是发现吻合了科学或社会的某些现象。 每一个候选人可以各自拥抱一种让自己获胜的选举程序？这听起来还不够 荒诞吗？如果我们不仔细了解各种选举程序造成的影响，因规就习地直接将某 种选举程序奉为圭臬，让它来主宰我们的生活，岂不是更荒唐可悲？这就是选 举理论要探讨的问题：究竟有没有最「公道」的选举程序？回答这个问题之前 ，当然要先讨论：什麽叫做「公道」？ 选举理论的滥觞 一般认为，选举理论的正式开端是法国人Condorcet（1743-1794）於1785 年发表的「论数学分析应用於多数决之机率问题」。虽然Condorcet在16岁就 首次发表数学论文、25岁即因在积分学方面的出色研究表现而被选入法国科学 院，不过有人仍然评论他在数学与科学上的贡献微不足道。相对地，Condorcet 被认为是「法国最後一位启蒙哲学家」，他在法国大革命中扮演的角色，几乎 就是美国独立运动中的杰弗逊：作为一个关心平民的贵族知识份子，他起草宪 法、鼓吹宗教自由、擘画教育、反对蓄奴。然而，法国大革命後来混乱得失去 了控制，一夜之间Condorcet从英雄变成通缉犯，入狱後第三天暴毙，未经审 判、死因不明。 Condorcet於1785年的论文里面提出了一种选举程序：他认为一个「公道」 的胜选者，必须是与所有其他候选人在捉对投票中都能获胜的那个人。拿卷宗 一为例，Condorcet的程序要求选民对T和C投票、对T和B投票、还要对B和C各 投票一次，如果选民像卷宗一所示地诚实投票，则T：C＝6：9、T：B＝6：9、 B：C＝5：10，因为只有C能够在2次捉对投票中都获胜，所以C才是胜选者。 Condorcet自己也在论文中表明，他的选举程序也有可能无法产生结果， 例如遇上以下这种卷宗： 卷宗二 人数 心目中的定见 5 T＞C＞B 5 C＞B＞T 5 B＞T＞C 那麽3次捉对投票的结果就是T：C＝10：5、C：B＝10：5、B：T＝10：5， 解读为T＞C＞B＞T，甚至不符合递移律，所以即使所有选民都是理性且诚实的 ，投票的结果却显得不理性！我们可以将这种情形解释成「平手」，但那只是 我们的解释而已，就实际开票结果而言，并不是平手。因此，当Condorcet程 序产生胜选者的时候，那的确是一个众望所归、没有异议的胜选者；问题就是 ，它有太大的失败机率，而且就算它可以成功，所耗费的社会成本也太高了。 这就是Borda（1733-1799）对Condorcet提出的质疑。一般的说法是Borda 在与Condorcet的辩论中提出了他的方法，如今所谓Borda Count法就是前述选 饮料的假想情境中，第三次投票的方法：每个选民对K个候选人严格排序，给 自己心目中排序第一的K-1分、排序第二的K-2分……直到排序倒数第二的1分、 最後一名0分。如同许多数学或科学的历史，更晚期的史料表明Condorcet和 Borda都不是他们提倡的选举程序的最初发明人。中古世纪一位传奇的狂人 Llull就曾经发明过Condorcet的方法，而1433年Cusa批评Llull的方法并提出 自己的方法，Cusa提出的就是今天所谓的Borda Count。 Borda也是个有贵族背景的法国知识份子，他在20岁时提出一份几何学方 面的论文、22岁在军中获得数学家的职位，他的生涯一直是学术与军旅并行。 1776-1778年间，他还担任舰长，带着法国海军越洋帮美国人打赢了独立战争。 Borda影响我们最深的一件事，可能是他定义了「公尺」。原本有人建议以周 期为1秒的单摆长度作为公尺的定义，但Borda大力提倡用地球沿着某条经线从 北极到赤道的一千万分之一作为公尺的定义。他的理由是要推动公尺作为国际 标准，如果使用地球的尺度作为长度定义，国际间就没有反对的理由了。其实 ，我猜想Borda还有两个私下的理由，其一是因Borda是当时最精於地表测量的 专家，这种公尺的定义使得他更有理由要制造更精确的仪器、对地球做更精确 的测量；其二是Borda是十进制的热衷推动者，他的另一项计画是推动一天10 小时、每小时100分钟、每分钟100秒的新时间单位，如果成功了，那秒的定义 就改变了，而根据秒所定义的长度单位也要跟着改变了。 选举理论学者基本上都同意，如果不计成本，应该先执行Condorcet的方 法，如果产生优胜就好，否则就应该采用Borda的计分方法；但问题是，实际 上很难不计成本。不过，理论学者倒是利用Condorcet方法来协助判断其他选 举程序的优劣。他们在理论上探讨许多（或者所有）可以让Condorcet方法产 生优胜的卷宗，假设这个优胜是最具有代表性的当选者，然後比较其他选举程 序产生其他优胜（也就是不够恰当的结果）的机率如何。结果，在比较过的各 种选举程序当中，最容易不符合Condorcet优胜的选举程序，就是现在最常用 的「一人一票相对多数制」，也就是最前面假设情境中第一个采用的选举方法。 虽然Condorcet和Borda的争辩开启了选举理论，也为後代的学者铺设了研 究的方法和典范。不过他们并没有替「公道」下一个定论，当然也就不能讨论 什麽选举程序最「公道」。这个问题，还要再等166年，在二十世纪中叶，出 现的一个令人难受但是却被普遍接受的结论。 Arrow的不可能定理 二十世纪出现了好几个伟大的「不可能」定理，这些数学定理在哲学、经 济、科学上，都产生深远而根本的影响，其中一个就是Kenneth Arrow（1921-） 在1951年提出的博士论文Social Choice and Individual Values。Arrow於 1971年获颁诺贝尔经济学奖，他提出的定理又称为「Arrow矛盾」，基本上是定 义了一套所谓「公道」的标准： （一）每一位选民的影响力都一样；更进一步说，就是非独裁的。 （二）选民除了不能不理性，更没有任何关於心目中排序的限制。 （三）如果所有选民都认为A＞B，则选举结果也一定要显示出A＞B。 （四）选举结果中关於A和B的排序，应该只根据卷宗内A和B的相对顺序决 定，与任何第三者无关。 （五）如果所有选民都是理性地将选择对象排序，而且诚实投票，则选举 的结果也要显示理性的排序。 读者仔细想想，似乎上述五条「公道」的标准是再基本不过的了，这不都 是我们对於民主和平等的直觉认识吗？大家实在没有反对或挑剔的余地。但如 果您也同意任何一个「公道」的选举程序都要符合上述五个条件，我们就可以 据此设计「公道」的选举程序，然後在所有「公道」的程序当中设法挑选「最 公道」的。但是，Arrow说，省省吧！如果选择对象超过2个，根本不存在这种 选举程序！ 如果只有2个候选人，许多已知的选举程序其实都等於「相对多数制」 （因为只有2名，相对多数就是绝对多数），所有的选举程序都会得到同样的 结果，因此没有「最公道」的问题，如同台湾即将面临的2004年总统大选， 只有2组候选人的时候，选举程序不是值得担心的问题。 但是，如果超过2个候选人，就居然不存在任何公道的选举程序！这是一 个被证明的数学定理，而不是经验法则，也不是实验归纳的结论，如同许多人 在高中时代学习过的「不可能找到2个正整数n和m使得n^2 = 2*m^2」，不是我 们运气不好，也不是我们不够努力或不够聪明，而是─不可能！ 我们已经知道Condorcet的方法违背了第五条，但Borda的方法哪里出了问 题？其实，我们之前举出的3种选举程序都会违背第四条：只要假设在3种饮料 之外另外加上一种可能：冰咖啡（K），15位筹备委员并没有改变原来3种饮料 的相对顺序，只是把K插入某个位置而已，假设卷宗一变成了卷宗三： 卷宗三 人数 心目中的定见 4 T＞K＞C＞B 2 K＞T＞C＞B 5 B＞C＞K＞T 4 C＞B＞T＞K 如果用一人一票的方式来投票，每个人诚实地投给自己第一优先一票，就 得到B：T：C：K＝5：4：4：2，与原来T：B：C＝6：5：4的结果比较，我们发 现T和B的顺序颠倒了：T和B的相对顺序受到第三者K的干扰。 Arrow定理的最大众解读，就是说我们必须在残缺的选举程序和独裁者之间 作一个选择。这是多麽无奈的情况啊！有些政治学者将这个无奈诉诸道德，而 不是理性，认为人间本无完美。他们用Arrow定理当作证据，告诫政治人物即 使胜选也要谦冲为怀、与人善处。另一些坚持理性的学者，则企图修改或松动 Arrow的五个「公道」条件，譬如「同意票制」就松动了第一条：每个选民决 定是否对每个候选人投同意票，因为每个人在心中划下的界线不同，有些人或 许认为只同意自己心目中的第一优先，另外一些人或许会同意所有的候选人， 因此每个选民投出去的票数就不一样多了。也有些人企图设计稍微违背第二条 的选举程序，然而，在Arrow之後半世纪，另一位数学经济学教授Saari想要证 明，真正值得松动的是第四条。 Saari的修订理论 2000年，Saari在Economic Theory发表2篇各50页的论文，引起了相当的 重视和讨论。Saari的论点之一是Arrow的第四和第五条件会互相「抵销」； 既然假设选民是理性的（Arrow的证明当中用了这个假设），选举程序应当要 尽可能地检查选民是否真的理性，并尽可能有效地从卷宗当中剔除那不理性的 选民，比如将不理性的选票视为废票。而Arrow的第四条件恰好限制了选举程 序检验选民是否理性的能力。 在这个观点下，「单一选票相对多数制」又显示出它最大的弱点：它是最 不能检验不理性的制度，因此是最差劲的制度。因为在这制度之下，选票只反 应出来选民的第一优先，而完全遗失了其他的候选人资料，在选举程序中无法 得知选民对第二优先以後的候选人的对待是理性还是不理性的。在这个哲学引 领之下，Saari提议修改Arrow的第四条，将之稍微放宽，只加上三个字： （四）选举结果关於A和B的排序，应该只由卷宗内A和B的相对顺序「和距 离」决定，与任何第三者无关。（「距离」的定义并不困难，但是需要多一点 的篇幅，笔者暂且割舍。） 如果我们可以接受将Arrow的第四条换成Saari的，而还是认为那是「公道」 的话，那麽Saari证明了：Borda Count选举程序是「公道」的！当然，我们这 里关心的是超过2个候选人的情形，本篇提到的其他选举程序，在修改後的标准 下，都还是不够公道。 结 语 读者或许已经一边读一边产生疑问，比如为什麽不讨论两票制选举程序呢？ 为什麽没提到对每个候选人投同意票的方法呢？为什麽不容许选民对部份选择 对象不分高下，例如T＞（B＝C）？如何遏止或减少选民运用策略投票？其实， 选举理论有非常丰富的发展，除了这里介绍的「公道」定义之外，还有其他见 仁见智的看法，也还有可辩论的空间。选举理论还跟社会福利法案的经济数学 有关，又可以推展成工业、经济各种方面的决策理论，那里又有许多有趣而且 和我们的生活密切相关的问题了。 参考资料 1. D. Newman, 1998, 选举理论及比例代表制，香港岭南学院政治学与社 会学系报告（中译本）。 2. J. J. O'Connor and E. F. Robertson, 1996-2003, The MacTutor History of Mathematics archive. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/ 3. D. G. Saari, 2001, Chaotic elections! A mathematician looks at voting, American Mathematical Society. 4. D. G. Saari, 2001, Decisions and elections, explaining the unexpected, Cambridge University Press. 单维彰：任教中央大学数学系 -- 赵客缦胡缨 吴钩霜雪明 银鞍照白马 飒沓如流星 十步杀一人 千里不留行 事了拂衣去 深藏身与名 闲过信陵饮 脱剑膝前横 将炙啖朱亥 持觞劝侯赢 三盃吐然诺 五岳倒为轻 眼花耳热後 意气素霓生 救赵挥金槌 邯郸先震惊 千秋二壮士 烜赫大梁城 纵使侠骨香 不惭世上英 谁能书合下 白首太玄经 李白 侠客行 --

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