課程名稱︰偏微分方程式二 課程性質︰數學系選修 課程教師︰夏俊雄 開課學院：理學院 開課系所︰數學系 考試日期（年月日）︰2017/05/04 考試時限（分鐘）：120 試題 : Each of the following problems counts 25 points. 1. State the Fredholm alternative for identity-compact operators on Hilbert space. 2. State the Lax-Milgram theorem and prove it. 3. Suppose the Hilbert space H is of infinite dimension and K: H → H is compact and linear. Show that (1) $0 \in \sigma_s(K)$, (2) $\sigma_s(K)\backslash\{0\} = \sigma_p(K)\backslash\{0\}$, and (3) $\sigma_s(K)\backslash\{0\}$ is finite, or a sequence tending to 0. 4. Assume U is connected, smooth and bounded. A function $u \in H^1(U)$ is a weak solution of Neumann's problem \begin{equation}\label{eq1} \begin{cases} -\Delta u = f & \text{in }U\\ \frac{\partial u}{\partial\nu} = 0 & \text{on }\partial U \end{cases} \end{equation} if \[\int_U Du \cdot Dv dx = \int_U fv dx\] for all $v \in H^1(U)$. Suppose $f \in L^2(U)$. Prove (\ref{eq1}) has a weak solution if and only if \[\int_U f dx = 0.\] (Hint: You might want to use Lax-Milgram theorem and Fredholm alternative to conclude the result. You have to show the reasonings step by step.) -- 第01話 似乎在課堂上聽過的樣子 第02話 那真是太令人絕望了 第03話 已經沒什麼好期望了 第04話 被當、21都是存在的 第05話 怎麼可能會all pass 第06話 這考卷絕對有問題啊 第07話 你能面對真正的分數嗎 第08話 我，真是個笨蛋 第09話 這樣成績，教授絕不會讓我過的 第10話 再也不依靠考古題 第11話 最後留下的補考 第12話 我最愛的學分 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.230.44.40 (臺灣) ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/NTU-Exam/M.1744794381.A.BA5.html