课程名称︰偏微分方程式二 课程性质︰数学系选修 课程教师︰夏俊雄 开课学院：理学院 开课系所︰数学系 考试日期（年月日）︰2017/05/04 考试时限（分钟）：120 试题 : Each of the following problems counts 25 points. 1. State the Fredholm alternative for identity-compact operators on Hilbert space. 2. State the Lax-Milgram theorem and prove it. 3. Suppose the Hilbert space H is of infinite dimension and K: H → H is compact and linear. Show that (1) $0 \in \sigma_s(K)$, (2) $\sigma_s(K)\backslash\{0\} = \sigma_p(K)\backslash\{0\}$, and (3) $\sigma_s(K)\backslash\{0\}$ is finite, or a sequence tending to 0. 4. Assume U is connected, smooth and bounded. A function $u \in H^1(U)$ is a weak solution of Neumann's problem \begin{equation}\label{eq1} \begin{cases} -\Delta u = f & \text{in }U\\ \frac{\partial u}{\partial\nu} = 0 & \text{on }\partial U \end{cases} \end{equation} if \[\int_U Du \cdot Dv dx = \int_U fv dx\] for all $v \in H^1(U)$. Suppose $f \in L^2(U)$. Prove (\ref{eq1}) has a weak solution if and only if \[\int_U f dx = 0.\] (Hint: You might want to use Lax-Milgram theorem and Fredholm alternative to conclude the result. You have to show the reasonings step by step.) -- 第01话 似乎在课堂上听过的样子 第02话 那真是太令人绝望了 第03话 已经没什麽好期望了 第04话 被当、21都是存在的 第05话 怎麽可能会all pass 第06话 这考卷绝对有问题啊 第07话 你能面对真正的分数吗 第08话 我，真是个笨蛋 第09话 这样成绩，教授绝不会让我过的 第10话 再也不依靠考古题 第11话 最後留下的补考 第12话 我最爱的学分 --

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