課程名稱︰分析導論一 課程性質︰數學系大二必修、經濟系所選修 課程教師︰張志中 開課學院：理學院 開課系所︰數學系 考試日期︰2021/11/30 (二) 考試時限：09:10 - 12:10，共計 3 小時 試題 : 1. https://imgur.com/7ZNcQ8X (a) 除了空集合外，每個有限子集都有一個最大正整數 n，易知所有包含最大正整數為 n 的子集個數為 2^(n-1) 個，故可以對此分類，依序列出所有子集： {}, {1}, {2}, {1,2}, {3}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}, {4}, {1,4}, {2,4}, ... --- ---------- -------------------------- ------------------------ 1個 2 個 4 個 8 個 ==> A countable union of finite sets is countable. (b) J 的每個子集都可以用一個無限長的 binary 字串去表示，該位元所對應到的整數有 沒有在子集裡。課本 Theorem 2.14 說所有這樣的字串合起來是 uncountable，於是 J 的所有子集個數是 uncountable。又每個子集只可能是 finite 或 infinite，加上 (a) 小題已經說 finite 的部分是 countable，故 infinite 的部分 = uncountable - countable = uncountable 個。 (c) Cantor set 內的每個數都可以唯一表示成一個三進位的小數，其中每位只可能是 0、 2，那麼一樣可以 apply Theorem 2.14 去說 Cantor set 是 uncountable。 (d) 每個剛好為 n 次的多項式，觀察其係數，可以 1-1 對應到 (Z-{0}) * Z * ... * Z ---------------------- 有 n 項 內的一個 tuple，根據課本 Theorem 2.13，所有 n 次多項式合起來為可數集。又， 每個多項式一定是某 N 次多項式，再根據 Theorem 2.12 便推得所有整係數多項式為 countable。 (e) 與 (d) 小題不同，每個 power series 都是無窮高次，於是可以使用 Cantor 對角線 法，先假設全部的 power series 能排成一列，再取第 i 個 series 的第 i 次係數 不等於原先的 (一定做得到，因為整數不少於 2 個)，便能得到一個新的 series 它 沒有被數到，所以全部的 power series 不可數，也就是 uncountable。 2. https://imgur.com/HEGWQca (a) 歸謬法：如果λ = 0，意味著可以挑一個序列 {x(n)} 使得 f(x(n)) → 0，但是目前 在 sequentially compact 的環境下也必定存在一個 x 使得子序列 x(nk) → x，而 這個 x 的 f(x) > 0，那從拓樸的結構來看，那些很接近 x 的 x(ni) 也會被 x 所屬 的 open ball 籠罩住，f(x(ni)) 就不應該太小，也就是不應該 → 0，造成矛盾。 (b) 取 X = (0,1) 可以被 {(1/2,1), (1/3,1), ..., (1/n,1), ...} 這些開區間蓋住， 但是當 x → 0+ 的時候 f(x) → 0+，所以此例的λ = 0。 (c) 由於λ有可能為無窮大，先取一數 c := min(1, λ)，確保 c 有限。如果 X 之中有 無窮多個人彼此之間距離都 ≧ c 的話，就無法從這些人之中抽出柯西子序列，也就 沒有收斂子序列，違反前提。因此至多有限個人彼此之間距離都 ≧ c，剩下的人至少 跟前者之中的某位距離 < c，我便可以直接拿前者那有限多個人當成開球圓心，半徑 皆設為 c，形成的 open cover 籠罩住 X。根據 f、λ和 c 定義，這每個球都一定能 被原本題目給的 open cover 之中的其中一片蓋住，那我再把那些開集片取出來，就 形成 finite subcover 了。如此就證得 compactness。 3. https://imgur.com/2qrL6qn (a) Σ[n,m] a(k) * b(k) = Σ[n,m] (A(k)-A(k-1)) * b(k) = Σ[n,m] A(k) * b(k) - Σ[n,m] A(k-1) * b(k) = Σ[n,m] A(k) * b(k) - Σ[n-1,m-1] A(k) * b(k+1) = A(m)*b(m) + Σ[n,m-1] A(k)*b(k) - A(n-1)*b(n) - Σ[n,m-1] A(k) * b(k+1) = Σ[n,m-1] A(k) * (b(k)-b(k+1)) + A(m)*b(m) - A(n-1)*b(n)。 (b) If x = 0, then sin(x/k) = 0, and the series becomes to 0. If x > 0, then |Σ[1,N] cos(kx)| = |sin(N+0.5)x - sin(x/2)| / 2|sin(x/2)| is bounded. 而且 k 很大的時候 sin(x/k) > 0, sin(x/k) ≧ sin(x/(k+1))，以及 sin(x/k) → 0，故根據 Dirichlet's Test 級數收斂。 (c) 先利用算幾不等式說明 {(1+1/k)^k} 單調遞增： https://math.stackexchange.com/a/1178526/397319 再利用 (1+1/k)^k → e 這個知名的結果說明 {(1+1/k)^k} 有界 (其他方式似乎都很 複雜？)，就可以套 Abel's Test 得知題目所求級數收斂。 4. https://imgur.com/YmPjUnD (a) liminf a(n)+b(n) ≦ liminf a(n) + limsup b(n) 的證明： 我只查到這個：https://math.stackexchange.com/a/205349/397319 但我沒應考，不知道有沒有更簡便的做法。等待有緣人解答？？？ liminf a(n)+b(n) > liminf a(n) + liminf b(n) 的例子： 取 a(n) = {1,-1,1,-1,...}、b(n) = {-1,1,-1,1,...}，則 0 > -1 + -1 = -2。 (b) If a(n) > 0 and liminf n(ln n)a(n) = L > 0, then Σa(n) diverges 的證明： 給任意ε> 0，存在 N 使得 n(ln n)a(n) > L -ε for all n > N，移項一下得 a(n) > (L-ε)/(n(ln n))，故 Σa(n) > Σ(L-ε)/(n(ln n)) = (L-ε)Σ1/(n(ln n))， 注意到 dx/(x(ln x)) = ln(ln x)，故根據 integral test 可推得 Σa(n) 為發散。 If a(n) > 0 and limsup n(ln n)a(n) = L > 0, but Σa(n) converges 的例子： 等待有緣人解答？？？ (c) If a(n) > 0 and limsup n(ln n)^2*a(n) = L ≧ 0, then Σa(n) converges 證明: 給任意ε> 0，存在 N 使得 n(ln n)^2*a(n) < L +ε for all n > N，移項一下得到 a(n) < (L +ε)/(n(ln n)^2)，故 Σa(n) < Σ(L +ε)/(n(ln n)^2) = (L +ε) * Σ1/(n(ln n)^2)，注意到 dx/(x(ln x)^2) = 1/ln(x)，故根據 integral test 推得 Σa(n) 為收斂。 If a(n) > 0 and liminf n(ln n)^2*a(n) = L ≧ 0, but Σa(n) diverges 的例子: 等待有緣人解答？？？ 5. https://imgur.com/2yXkNJH (a) 先把題目給的 lim 用定義展開：For any ε> 0, there exists N such that n≧N ==> L-ε < β*a(n+1) - a(n) < L+ε. 現在要計算一般項 a(N+k), k≧0 的範圍： L-ε < β * a(N+1) - a(N+0) < L+ε β^1 * (L-ε) < β^2 * a(N+2) - β^1 * a(N+1) < (L+ε) * β^1 β^2 * (L-ε) < β^3 * a(N+3) - β^2 * a(N+2) < (L+ε) * β^2 ... β^(k-1)*(L-ε) < β^k * a(N+k) - β^(k-1) * a(N+(k-1)) < (L+ε)*β^(k-1) ------------------------------------------------------------------------- (L-ε)*(1+β...β^(k-1)) < β^k * a(N+k) - a(N) < (L+ε)*(1+β...β^(k-1)) (L-ε)*(1-β^k)/(1-β) < β^k * a(N+k) - a(N) < (L+ε)*(1-β^k)/(1-β) (L-ε)*(β^(-k)/(1-β)-1/(1-β)) < a(N+k)-a(N)/β^k < (L+ε)*(β^(-k)/(1-β) - 1/(1-β)) (L-ε)*(β^(-k)/(1-β)-1/(1-β))+a(N)/β^k < a(N+k) < (L+ε)*(β^(-k)/(1-β) - 1/(1-β)) + a(N)/β^k 易之當 k→∞，(L-ε)*(β^(-k)/(1-β)-1/(1-β)) + a(N)/β^k → (L-ε)/(β-1) (L+ε)*(β^(-k)/(1-β)-1/(1-β)) + a(N)/β^k → (L+ε)/(β-1) 上下界皆為一個有限的值，故 {a(n)} 有界。 (b) 由 (a) 小題的推導可以知道 liminf ≧ (L-ε)/(β-1) for all ε> 0，故 liminf ≧ L/(β-1)，同理 limsup ≦ (L+ε)/(β-1) for all ε> 0，故 limsup ≦ L/(β-1)， 因此 limsup = liminf = L/(β-1) = lim = A。 6. https://imgur.com/NhnfWLh (a) * x ＝ y ==> do(x,y) = 0 * x ≠ y ==> do(x,y) = 1 > 0 * x=y <==> y=x 可推得 do(x,y) = do(y,x). * do(x,y) + do(y,z) - If y=x, then = 0 + do(y,z) = do(x,z) - If y=z, then = do(x,y) + 0 = do(x,z) - Otherwise, = 1 + 1 > do(x,z) 以上三種情況皆符合三角不等式。 (b) * 有限集：無論是怎樣的 cover，我都從元素的角度去思考，每個元素都至少有一片 open set 蓋出它，把這些 open set 抽出來就得到 finite subcover。 * 無限集：取每個元素為圓心、0.5 為半徑，那這個 open cover 的每個 open ball 都只能蓋到圓心，缺一不可，故不存在 finite subcover。 (c) 根據上一小題，not compact <==> infinite，所以我可以取一個圓心在原點，半徑為 1 的 ball (open 或 closed 均可)，有界顯而易見，加上因為 discrete metric 的 緣故，相異點距離皆為 1，便不存在不屬於 ball 的人可以無窮接近 ball，所以這個 ball 是 closed。(In fact, every subset is open and closed under a discrete metric space.) (d) 每個在 d1 底下的 open set G，每個元素 p 都可以畫圓 B(p; r>0; d1) ⊆ G，但是 在 d2 底下，B(p; r/1.414 > 0; d2) ⊆ B(p; r>0; d1) ⊆ G，於是 G 在 d2 也是 open set。(上述 1.414 是根號 2 的簡稱。) 每個在 d2 底下的 open set G，每個元素 p 都可以畫圓 B(p; r>0; d2) ⊆ G，但是 在 d1 底下，B(p; r>0; d1) ⊆ B(p; r>0; d2) ⊆ G，故 G 在 d1 也是 open set。 於是 d1 和 d2 所 induce 出來的 open sets 是一樣的。 (e) i. 因為 d0 底下每個 set 都是 closed set，故 A 的 closure 會 = A。 (By 課本 Theorem 2.27(b)) 在 d2 底下，因為 x → 0+ 的時候 sin(1/x) 會劇烈震盪，故 {0} * [-1,1] 都 是 A 的 limit points，另外因為 A 限制在 x < 1，故 (1, sin(1)) 也是 limit point，則 A 的 closure = A ∪ {0}*[-1,1] ∪ (1, sin(1))。 p.s. 我猜考試的時候不需要派出嚴謹的 epsilon-delta，不然會寫不完。 ii. 因為 d0 底下，至少包含兩個元素以上的集合都不連通，A∪{(0,0)} 也不連通。 在 d2 底下，可以使用 HW5 的第二題，A 是連通顯而易見，加上 A⊆A∪{(0,0)} ⊆A∪{0}*[-1,1]∪(1, sin(1))，故 A∪{(0,0)} 連通。 -- --

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