课程名称︰分析导论一 课程性质︰数学系大二必修、经济系所选修 课程教师︰张志中 开课学院：理学院 开课系所︰数学系 考试日期︰2021/11/30 (二) 考试时限：09:10 - 12:10，共计 3 小时 试题 : 1. https://imgur.com/7ZNcQ8X (a) 除了空集合外，每个有限子集都有一个最大正整数 n，易知所有包含最大正整数为 n 的子集个数为 2^(n-1) 个，故可以对此分类，依序列出所有子集： {}, {1}, {2}, {1,2}, {3}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}, {4}, {1,4}, {2,4}, ... --- ---------- -------------------------- ------------------------ 1个 2 个 4 个 8 个 ==> A countable union of finite sets is countable. (b) J 的每个子集都可以用一个无限长的 binary 字串去表示，该位元所对应到的整数有 没有在子集里。课本 Theorem 2.14 说所有这样的字串合起来是 uncountable，於是 J 的所有子集个数是 uncountable。又每个子集只可能是 finite 或 infinite，加上 (a) 小题已经说 finite 的部分是 countable，故 infinite 的部分 = uncountable - countable = uncountable 个。 (c) Cantor set 内的每个数都可以唯一表示成一个三进位的小数，其中每位只可能是 0、 2，那麽一样可以 apply Theorem 2.14 去说 Cantor set 是 uncountable。 (d) 每个刚好为 n 次的多项式，观察其系数，可以 1-1 对应到 (Z-{0}) * Z * ... * Z ---------------------- 有 n 项 内的一个 tuple，根据课本 Theorem 2.13，所有 n 次多项式合起来为可数集。又， 每个多项式一定是某 N 次多项式，再根据 Theorem 2.12 便推得所有整系数多项式为 countable。 (e) 与 (d) 小题不同，每个 power series 都是无穷高次，於是可以使用 Cantor 对角线 法，先假设全部的 power series 能排成一列，再取第 i 个 series 的第 i 次系数 不等於原先的 (一定做得到，因为整数不少於 2 个)，便能得到一个新的 series 它 没有被数到，所以全部的 power series 不可数，也就是 uncountable。 2. https://imgur.com/HEGWQca (a) 归谬法：如果λ = 0，意味着可以挑一个序列 {x(n)} 使得 f(x(n)) → 0，但是目前 在 sequentially compact 的环境下也必定存在一个 x 使得子序列 x(nk) → x，而 这个 x 的 f(x) > 0，那从拓朴的结构来看，那些很接近 x 的 x(ni) 也会被 x 所属 的 open ball 笼罩住，f(x(ni)) 就不应该太小，也就是不应该 → 0，造成矛盾。 (b) 取 X = (0,1) 可以被 {(1/2,1), (1/3,1), ..., (1/n,1), ...} 这些开区间盖住， 但是当 x → 0+ 的时候 f(x) → 0+，所以此例的λ = 0。 (c) 由於λ有可能为无穷大，先取一数 c := min(1, λ)，确保 c 有限。如果 X 之中有 无穷多个人彼此之间距离都 ≧ c 的话，就无法从这些人之中抽出柯西子序列，也就 没有收敛子序列，违反前提。因此至多有限个人彼此之间距离都 ≧ c，剩下的人至少 跟前者之中的某位距离 < c，我便可以直接拿前者那有限多个人当成开球圆心，半径 皆设为 c，形成的 open cover 笼罩住 X。根据 f、λ和 c 定义，这每个球都一定能 被原本题目给的 open cover 之中的其中一片盖住，那我再把那些开集片取出来，就 形成 finite subcover 了。如此就证得 compactness。 3. https://imgur.com/2qrL6qn (a) Σ[n,m] a(k) * b(k) = Σ[n,m] (A(k)-A(k-1)) * b(k) = Σ[n,m] A(k) * b(k) - Σ[n,m] A(k-1) * b(k) = Σ[n,m] A(k) * b(k) - Σ[n-1,m-1] A(k) * b(k+1) = A(m)*b(m) + Σ[n,m-1] A(k)*b(k) - A(n-1)*b(n) - Σ[n,m-1] A(k) * b(k+1) = Σ[n,m-1] A(k) * (b(k)-b(k+1)) + A(m)*b(m) - A(n-1)*b(n)。 (b) If x = 0, then sin(x/k) = 0, and the series becomes to 0. If x > 0, then |Σ[1,N] cos(kx)| = |sin(N+0.5)x - sin(x/2)| / 2|sin(x/2)| is bounded. 而且 k 很大的时候 sin(x/k) > 0, sin(x/k) ≧ sin(x/(k+1))，以及 sin(x/k) → 0，故根据 Dirichlet's Test 级数收敛。 (c) 先利用算几不等式说明 {(1+1/k)^k} 单调递增： https://math.stackexchange.com/a/1178526/397319 再利用 (1+1/k)^k → e 这个知名的结果说明 {(1+1/k)^k} 有界 (其他方式似乎都很 复杂？)，就可以套 Abel's Test 得知题目所求级数收敛。 4. https://imgur.com/YmPjUnD (a) liminf a(n)+b(n) ≦ liminf a(n) + limsup b(n) 的证明： 我只查到这个：https://math.stackexchange.com/a/205349/397319 但我没应考，不知道有没有更简便的做法。等待有缘人解答？？？ liminf a(n)+b(n) > liminf a(n) + liminf b(n) 的例子： 取 a(n) = {1,-1,1,-1,...}、b(n) = {-1,1,-1,1,...}，则 0 > -1 + -1 = -2。 (b) If a(n) > 0 and liminf n(ln n)a(n) = L > 0, then Σa(n) diverges 的证明： 给任意ε> 0，存在 N 使得 n(ln n)a(n) > L -ε for all n > N，移项一下得 a(n) > (L-ε)/(n(ln n))，故 Σa(n) > Σ(L-ε)/(n(ln n)) = (L-ε)Σ1/(n(ln n))， 注意到 dx/(x(ln x)) = ln(ln x)，故根据 integral test 可推得 Σa(n) 为发散。 If a(n) > 0 and limsup n(ln n)a(n) = L > 0, but Σa(n) converges 的例子： 等待有缘人解答？？？ (c) If a(n) > 0 and limsup n(ln n)^2*a(n) = L ≧ 0, then Σa(n) converges 证明: 给任意ε> 0，存在 N 使得 n(ln n)^2*a(n) < L +ε for all n > N，移项一下得到 a(n) < (L +ε)/(n(ln n)^2)，故 Σa(n) < Σ(L +ε)/(n(ln n)^2) = (L +ε) * Σ1/(n(ln n)^2)，注意到 dx/(x(ln x)^2) = 1/ln(x)，故根据 integral test 推得 Σa(n) 为收敛。 If a(n) > 0 and liminf n(ln n)^2*a(n) = L ≧ 0, but Σa(n) diverges 的例子: 等待有缘人解答？？？ 5. https://imgur.com/2yXkNJH (a) 先把题目给的 lim 用定义展开：For any ε> 0, there exists N such that n≧N ==> L-ε < β*a(n+1) - a(n) < L+ε. 现在要计算一般项 a(N+k), k≧0 的范围： L-ε < β * a(N+1) - a(N+0) < L+ε β^1 * (L-ε) < β^2 * a(N+2) - β^1 * a(N+1) < (L+ε) * β^1 β^2 * (L-ε) < β^3 * a(N+3) - β^2 * a(N+2) < (L+ε) * β^2 ... β^(k-1)*(L-ε) < β^k * a(N+k) - β^(k-1) * a(N+(k-1)) < (L+ε)*β^(k-1) ------------------------------------------------------------------------- (L-ε)*(1+β...β^(k-1)) < β^k * a(N+k) - a(N) < (L+ε)*(1+β...β^(k-1)) (L-ε)*(1-β^k)/(1-β) < β^k * a(N+k) - a(N) < (L+ε)*(1-β^k)/(1-β) (L-ε)*(β^(-k)/(1-β)-1/(1-β)) < a(N+k)-a(N)/β^k < (L+ε)*(β^(-k)/(1-β) - 1/(1-β)) (L-ε)*(β^(-k)/(1-β)-1/(1-β))+a(N)/β^k < a(N+k) < (L+ε)*(β^(-k)/(1-β) - 1/(1-β)) + a(N)/β^k 易之当 k→∞，(L-ε)*(β^(-k)/(1-β)-1/(1-β)) + a(N)/β^k → (L-ε)/(β-1) (L+ε)*(β^(-k)/(1-β)-1/(1-β)) + a(N)/β^k → (L+ε)/(β-1) 上下界皆为一个有限的值，故 {a(n)} 有界。 (b) 由 (a) 小题的推导可以知道 liminf ≧ (L-ε)/(β-1) for all ε> 0，故 liminf ≧ L/(β-1)，同理 limsup ≦ (L+ε)/(β-1) for all ε> 0，故 limsup ≦ L/(β-1)， 因此 limsup = liminf = L/(β-1) = lim = A。 6. https://imgur.com/NhnfWLh (a) * x ＝ y ==> do(x,y) = 0 * x ≠ y ==> do(x,y) = 1 > 0 * x=y <==> y=x 可推得 do(x,y) = do(y,x). * do(x,y) + do(y,z) - If y=x, then = 0 + do(y,z) = do(x,z) - If y=z, then = do(x,y) + 0 = do(x,z) - Otherwise, = 1 + 1 > do(x,z) 以上三种情况皆符合三角不等式。 (b) * 有限集：无论是怎样的 cover，我都从元素的角度去思考，每个元素都至少有一片 open set 盖出它，把这些 open set 抽出来就得到 finite subcover。 * 无限集：取每个元素为圆心、0.5 为半径，那这个 open cover 的每个 open ball 都只能盖到圆心，缺一不可，故不存在 finite subcover。 (c) 根据上一小题，not compact <==> infinite，所以我可以取一个圆心在原点，半径为 1 的 ball (open 或 closed 均可)，有界显而易见，加上因为 discrete metric 的 缘故，相异点距离皆为 1，便不存在不属於 ball 的人可以无穷接近 ball，所以这个 ball 是 closed。(In fact, every subset is open and closed under a discrete metric space.) (d) 每个在 d1 底下的 open set G，每个元素 p 都可以画圆 B(p; r>0; d1) ⊆ G，但是 在 d2 底下，B(p; r/1.414 > 0; d2) ⊆ B(p; r>0; d1) ⊆ G，於是 G 在 d2 也是 open set。(上述 1.414 是根号 2 的简称。) 每个在 d2 底下的 open set G，每个元素 p 都可以画圆 B(p; r>0; d2) ⊆ G，但是 在 d1 底下，B(p; r>0; d1) ⊆ B(p; r>0; d2) ⊆ G，故 G 在 d1 也是 open set。 於是 d1 和 d2 所 induce 出来的 open sets 是一样的。 (e) i. 因为 d0 底下每个 set 都是 closed set，故 A 的 closure 会 = A。 (By 课本 Theorem 2.27(b)) 在 d2 底下，因为 x → 0+ 的时候 sin(1/x) 会剧烈震荡，故 {0} * [-1,1] 都 是 A 的 limit points，另外因为 A 限制在 x < 1，故 (1, sin(1)) 也是 limit point，则 A 的 closure = A ∪ {0}*[-1,1] ∪ (1, sin(1))。 p.s. 我猜考试的时候不需要派出严谨的 epsilon-delta，不然会写不完。 ii. 因为 d0 底下，至少包含两个元素以上的集合都不连通，A∪{(0,0)} 也不连通。 在 d2 底下，可以使用 HW5 的第二题，A 是连通显而易见，加上 A⊆A∪{(0,0)} ⊆A∪{0}*[-1,1]∪(1, sin(1))，故 A∪{(0,0)} 连通。 -- --

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