課程名稱︰邏輯 課程性質︰通識A4 課程教師︰傅皓政 開課學院：不限 開課系所︰不限 考試日期（年月日）︰2019/1/7 考試時限（分鐘）：100 是否需發放獎勵金：是 試題 : 一、建構初階邏輯語言(提示：包括符號與形構規則兩個部分)。(10%) (Construct a suitable language for first-order (or predicate) logic. Hint: two parts should be involved, alphabets and formation rules) 二、請以范恩圖解的方法證明下列三段論的論證是否為有效論證，如為無效論證請寫出 具有說服力的反例。(15%) (Please prove whether the following syllogism is valid or not by Venn diagram and specify a persuasive counterexample if it is invalid.) (a) S A M M E P －－－－－－ S E P (b) S O M P E M －－－－－－ S O P (c) S E M M I P －－－－－－ S O P 三、請將下列日常語言的語句翻譯為初階邏輯語言的表達式。(15%) (Please translate the following sentences into first-order language expressions.) Bx：x是大學生； Axy：x羨慕y (a) 每個大學生都會羨慕某些大學生。 (b) 不是每個大學生都會羨慕每個大學生。 (c) 沒有大學生羨慕任何一個大學生。 四、請以真值樹法證明下列語法序列是否為有效論證，若為無效論證請顯示其反例結構。 (20%) (Please use tableaux system to prove whether each of the following argument is valid and to specify a counterexample if it is invalid.) (a) (∀x)(FxＶGx), (∀x)(Gx→Hx) ├ (∀x)FxＶ(∀x)Hx (b) (∀x)(∃y)(FyΛLxy), (∀x)(∀y)(Lxy→Mxy) ├ (∀x)(∃y)(FxΛMxy) 五、請以實例說明下列謬誤，並說明推理過程。(10%) (Please exemplify the following fallacies and explain the process of reasoning.) (a) 訴諸憐憫的謬誤(Argument from pity) (b) 二分法的謬誤(False Dichotomy Fallacy) 六、請完成下列演算，作答需連同題目寫在答案卷上。(30%) (Please complete the following proofs. Notice: you should copy the whole questions on your answer sheet.) (a) ├(MΛN)→﹁(M→﹁N) MΛN －－－ 　MΛN　　　　　　　Ｍ 　　M→﹁N 　　　 　－－－　　 　　－－－－－－－－－－ 　　　 　　Ｎ ﹁N －－－－－－－－－－－－－－－－－－ ⊥ 　 －－－－－－ ﹁(M→﹁N) －－－－－－－－－－－－－－－－－－ (MΛN)→﹁(M→﹁N) (b) ├(A→B)→(﹁AＶB) A A→B －－－－－－ ﹁A B －－－－－ －－－－ ﹁AＶB ﹁(﹁AＶB) ﹁AＶB ﹁(﹁AＶB) －－－－－－－－－－－ －－－－－－－－－－－ ⊥ ⊥ －－－－－－－－－－－ －－－－－－－－－－－ A ﹁A －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ ⊥ －－－－－ ﹁AＶB －－－－－－－－ (A→B)→(﹁AＶB) (c) (∀x)﹁(GxΛHx), (∀x)﹁(KxΛLx), (∀x)(GxＶKx) ├ ﹁(∀x)(HxΛLx) 　　　　 1. (∀x)﹁(GxΛHx) ___Pr___ 2. (∀x)﹁(KxΛLx) ___Pr___ 3. (∀x)(GxＶKx) ___Pr___ 4. GaＶKa ________ 5. ﹁(GaΛHa) ________ 6. ﹁(KaΛLa) ________ 7. ﹁GaＶ﹁Ha ________ 8. ﹁KaＶ﹁La ________ 9. Ka→﹁La ________ 10. ﹁﹁GaＶKa ________ 11. ﹁Ga→Ka ________ 12. ﹁Ga→﹁La ________ 13. ﹁HaＶ﹁Ga ________ 14. Ha→﹁Ga ________ 15. Ha→﹁La ________ 16. ﹁HaＶ﹁La ________ 17. ﹁(HaΛLa) ________ 18. (∃x)﹁(HxΛLx) ________ 19. ﹁(∀x)(HxΛLx) ________ Appendix: Rules of inference 1. 樹狀自然演繹法推論規則 (rules of inferences:tree-likely natural deduction) φ Ψ 　 (φΛΨ) (φΛΨ) －－－－(ΛI) －－－－(ΛE) －－－－(ΛE) (φΛΨ) φ Ψ φ(劃掉) : Ψ φ (φ→Ψ) －－－－(→I) －－－－－－－(→E) (φ→Ψ) Ψ (φ→Ψ) (Ψ→φ) (φ↔Ψ) (φ↔Ψ) －－－－－－－－－(↔I) －－－－－(↔) －－－－－(↔E) (φ↔Ψ) (φ→Ψ) (Ψ→φ) φ(劃掉) ﹁φ(劃掉) : : φ ﹁φ ⊥ ⊥ －－－－－(﹁E) －－－－－(﹁I) －－－－－(RAA) ⊥ ﹁φ φ φ Ψ : : φ Ψ (φＶΨ) X X －－－－－(ＶI) －－－－－ (ＶI) －－－－－－－－ (ＶE) (φＶΨ) (φＶΨ) X 2.線性自然演繹法推論規則 (rules of inferences: linearly natural deduction) (i)等值規則 (1)笛摩根定律 (DeM): ﹁(pΛq)↔(﹁pＶ﹁q); ﹁(pＶq)→(﹁pΛ﹁q) (2)交換律 (Comm) : (pＶq)↔(qＶp); (pΛq)↔(qΛp) (3)結合律 (Assoc) : (pＶ(qＶr))↔((pＶq)Ｖr); (pΛ(qΛr)↔((pΛq)Λr) (4)分配律 (Dist) : (pΛ(qＶr))↔((pΛq)Ｖ(pΛr)); (pＶ(qΛr))↔((pＶq)Λ(pＶr)) (5)雙重否定律 (DN): p↔﹁﹁p (6)異質位換律 (Contra): (p→q)↔(﹁q→﹁p) (7)蘊含律 (Impl) : (p→q)↔(﹁pＶq) (8)等值律 (Equiv) : (p↔q)↔((p→q)Λ(q→p)); (p↔q)↔((pΛq)Λ(﹁pΛ﹁q) (9)移出律 (Exp) : ((pΛq)→r)↔(p→(q→r)) (10)重言律 (Taut) : p↔pＶp; p↔pΛp (ii)蘊涵規則 (1)肯定前項律 (MP): p→q, p├ q (2)否定後項律 (MT): p→q, ﹁q├ ﹁p (3)假言三段論 (HS): p→q, q→r├ p→r (4)選言三段論 (DS): pＶq, ﹁p├ q; pＶq, ﹁q├ p (5)簡化律 (Simp) : pΛq├ p; pΛq├ q (6)添加律 (Add) : p├ pＶq (7)連言律 (Conj) : p,q├ pΛq (8)建構兩難律 (CD): (p→q)Λ(r→s), pＶr├ qＶs; p→q,r→s,pＶr├ qＶs --

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