課程名稱︰微積分乙下 課程性質︰必修 課程教師︰蔡聰明 開課學院：管理學院+經濟系 開課系所︰ 考試日期（年月日）︰101.04.19 考試時限（分鐘）：110 是否需發放獎勵金：是 （如未明確表示，則不予發放） 試題 : 乙卷 滿分125分 ∞ ∞ 1.若級數Σ│An│收斂，證明級數Σ An也收斂。(10分) 反之則不然，請舉出反例。(5分) n=1 n=1 2. 設f(x)=cos^2(x) ，求 f(x)對原點x=0的泰勒展開式，要寫出收斂的範圍。(10分) ∞ (-1)^(n+1) 3. 考慮冪級數Σ------------(x-2)^n ，回答下列各小題： n=1 n*2^n (i) 求收斂半徑與收斂區間。 (10分) (ii) 級數在哪些點絕對收斂？ (5分) (iii)級數在哪些點條件收斂？ (5分) 4. 判斷下列無窮級數的歛散。 (50分，每題各10分) ∞ 1 (i) Σ --------- n=1 1+ln(n) ∞ n*2^n*(n+1)! (ii)Σ -------------- n=1 3^n*n! ∞ ln(n) (iii)Σ (-1)^(n+1)-------- n=1 n ∞ (iv)Σ (1-1/n)^(n^2) n=1 ∞ n^n (v)Σ ----------- n=1 (2^n)^2 5. (i) 寫出可以救人一命的泰勒定理 (不必證明)。 (10分) (ii) 利用(i)推導出MVT 與 Newton-Leibniz 公式。(10分) (要寫出完整的假設與結論) 6. 假設 R＞0 並且函數f(x)在開區間(c-R, c+R) 上可以寫成冪級數 f(x)=a0+a1(x-c)+a2(x-c)^2+.....+an(x-c)^n+.... (n) f (c) 試證明：an=--------------，其中n=0,1,2,....,n。因此，f(x)的冪級數展開式一 n! 定是泰勒展開式。 (10分) --

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