作者d3osef ()
看板NTU-Exam
标题[试题] 100下 蔡聪明 微积分乙下 期中考
时间Tue Jul 8 22:05:59 2014
课程名称︰微积分乙下
课程性质︰必修
课程教师︰蔡聪明
开课学院：管理学院+经济系
开课系所︰
考试日期（年月日）︰101.04.19
考试时限（分钟）：110
是否需发放奖励金：是
（如未明确表示，则不予发放）
试题 :
乙卷 满分125分
∞ ∞
1.若级数Σ│An│收敛，证明级数Σ An也收敛。(10分) 反之则不然，请举出反例。(5分)
n=1 n=1
2. 设f(x)=cos^2(x) ，求 f(x)对原点x=0的泰勒展开式，要写出收敛的范围。(10分)
∞ (-1)^(n+1)
3. 考虑幂级数Σ------------(x-2)^n ，回答下列各小题：
n=1 n*2^n
(i) 求收敛半径与收敛区间。 (10分)
(ii) 级数在哪些点绝对收敛？ (5分)
(iii)级数在哪些点条件收敛？ (5分)
4. 判断下列无穷级数的歛散。 (50分，每题各10分)
∞ 1
(i) Σ ---------
n=1 1+ln(n)
∞ n*2^n*(n+1)!
(ii)Σ --------------
n=1 3^n*n!
∞ ln(n)
(iii)Σ (-1)^(n+1)--------
n=1 n
∞
(iv)Σ (1-1/n)^(n^2)
n=1
∞ n^n
(v)Σ -----------
n=1 (2^n)^2
5. (i) 写出可以救人一命的泰勒定理 (不必证明)。 (10分)
(ii) 利用(i)推导出MVT 与 Newton-Leibniz 公式。(10分) (要写出完整的假设与结论)
6. 假设 R＞0 并且函数f(x)在开区间(c-R, c+R) 上可以写成幂级数
f(x)=a0+a1(x-c)+a2(x-c)^2+.....+an(x-c)^n+....
(n)
f (c)
试证明：an=--------------，其中n=0,1,2,....,n。因此，f(x)的幂级数展开式一
n!
定是泰勒展开式。 (10分)
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