課程名稱︰管理數學 課程性質︰必修 課程教師︰黃以達 開課學院：管理學院 開課系所︰財務金融學系 考試日期（年月日）︰ (Take home) due to 101.10.15 考試時限（分鐘）：X 是否需發放獎勵金：是 （如未明確表示，則不予發放） 試題 : Part A (50%) 一、10% ┌2 1┐ Suppose that A is the matrix A= │6 5│ └2 4┘ (1)5% Explain in words how knowing all solutions to Ax=b decides if a given vector b is in the column space. (2)5% Is the vector b=[8 28 14]^T in the column space of A ? 二、20% Let T be the set defined as follows: ┌ x1+2x2+x3-x4 ┐│ ┌x1┐ 4 T={│ 2x1+4x2-8x4 ││∀│x2│∈ R } └ 2x3+6x4 ┘│ │x3│ └x4┘ (1)15% Find a basis of T (2)5% Determine the dimension of T. 三、20% 定義F(R)為一個收集所有實數值函數的集合，根據一般的函數加法與係數積，我們不難 發現F(R)滿足一個向量空間的定義。今有一F(R)上的子集合定義如下： S={e^t, e^2t, e^3t} (1)15% 請證明S內的向量彼此線性獨立。 (2)5% 根據上題，你認為F(R)的維度應該是多少？試說明你的理由。 備註：我們認為兩實數值函數f(t)與g(t)為相等必須滿足f(t)=g(t)，∀t∈R Part B (50%) 五、15% (俄羅斯輪盤問題) (Russian roulette Problem) 有三名戰俘被迫玩俄羅斯輪盤，在一盤可裝6發子彈的左輪手槍(revolver)裡，只放一顆 子彈，隨機地一轉後，要三戰俘輪流用手槍向自己的頭部發射，直到一名戰俘中槍，另 兩名戰俘才逃過一劫。請回答下列問題： (1)5% 先發射者是否較為不利？請計算先發者的生存機率。 (2)5% 若改為放兩顆子彈，結果會不同嗎？請計算先發者的生存機率。 (3)5% 若只放一顆子彈，但改為每次發射前，均須將彈匣隨機地一轉，則結果會有不同 嗎？此時先發者的生存機率為何？ 六、15% (麥當勞地產大亨問題) 假設麥當勞的地產大亨只有四張不同的地方：台北、台中、台南、台東，且每個種類數 比重分別為0.1,0.2,0.3,0.4，因數量眾多故假設機率不受購買後的結果而改變。在禁止 或不考慮大家私底下交換的情況下，家寧買了第一份套餐而得到了台北地產券，請回答 下列問題： (1)5% 請問家寧再買第二份套餐可以得到異於台北地產券的機率是多少？ (2)5% 請問家寧可以得到異於台北地產券所在需購買的期望套餐數是多少？ (3)5% 利用上題的結果，去推理家寧想要收集完一份地產大亨所再需購買的期望套餐數。 七、20% (東京愛情故事約見問題) 十八年前，赤名莉香與完治是一對在曖昧期的朋友，兩人決定晚上在壽克斯小路約會， 約定的時間是晚上七點到八點之間，當時沒有手機，因此聯絡不便，於是任性的完治說 ：「是你想約我的喔，所以如果我先到了我沒看到人我就會走囉！」而莉香說：「小氣 鬼，那我最多等二十分鐘喔！二十分鐘內沒看到你的話就表示我兩沒有緣分，我就會馬 上離開。」已知兩人必定會在限定的時間內到達，各自抵達的時間是隨機，且假設每個 人在七點十五分到七點四十五分抵達的機率是其他時間的兩倍。請回答下列問題： (1)10% 請問兩人當天會在壽克斯小路見面的機率是多少？ (2)10% 假設完治願意放下身段，說好兩人最多都等十分鐘，請問兩人會在壽克斯小路見面 的機會是多少？ --

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