课程名称︰管理数学 课程性质︰必修 课程教师︰黄以达 开课学院：管理学院 开课系所︰财务金融学系 考试日期（年月日）︰ (Take home) due to 101.10.15 考试时限（分钟）：X 是否需发放奖励金：是 （如未明确表示，则不予发放） 试题 : Part A (50%) 一、10% ┌2 1┐ Suppose that A is the matrix A= │6 5│ └2 4┘ (1)5% Explain in words how knowing all solutions to Ax=b decides if a given vector b is in the column space. (2)5% Is the vector b=[8 28 14]^T in the column space of A ? 二、20% Let T be the set defined as follows: ┌ x1+2x2+x3-x4 ┐│ ┌x1┐ 4 T={│ 2x1+4x2-8x4 ││∀│x2│∈ R } └ 2x3+6x4 ┘│ │x3│ └x4┘ (1)15% Find a basis of T (2)5% Determine the dimension of T. 三、20% 定义F(R)为一个收集所有实数值函数的集合，根据一般的函数加法与系数积，我们不难 发现F(R)满足一个向量空间的定义。今有一F(R)上的子集合定义如下： S={e^t, e^2t, e^3t} (1)15% 请证明S内的向量彼此线性独立。 (2)5% 根据上题，你认为F(R)的维度应该是多少？试说明你的理由。 备注：我们认为两实数值函数f(t)与g(t)为相等必须满足f(t)=g(t)，∀t∈R Part B (50%) 五、15% (俄罗斯轮盘问题) (Russian roulette Problem) 有三名战俘被迫玩俄罗斯轮盘，在一盘可装6发子弹的左轮手枪(revolver)里，只放一颗 子弹，随机地一转後，要三战俘轮流用手枪向自己的头部发射，直到一名战俘中枪，另 两名战俘才逃过一劫。请回答下列问题： (1)5% 先发射者是否较为不利？请计算先发者的生存机率。 (2)5% 若改为放两颗子弹，结果会不同吗？请计算先发者的生存机率。 (3)5% 若只放一颗子弹，但改为每次发射前，均须将弹匣随机地一转，则结果会有不同 吗？此时先发者的生存机率为何？ 六、15% (麦当劳地产大亨问题) 假设麦当劳的地产大亨只有四张不同的地方：台北、台中、台南、台东，且每个种类数 比重分别为0.1,0.2,0.3,0.4，因数量众多故假设机率不受购买後的结果而改变。在禁止 或不考虑大家私底下交换的情况下，家宁买了第一份套餐而得到了台北地产券，请回答 下列问题： (1)5% 请问家宁再买第二份套餐可以得到异於台北地产券的机率是多少？ (2)5% 请问家宁可以得到异於台北地产券所在需购买的期望套餐数是多少？ (3)5% 利用上题的结果，去推理家宁想要收集完一份地产大亨所再需购买的期望套餐数。 七、20% (东京爱情故事约见问题) 十八年前，赤名莉香与完治是一对在暧昧期的朋友，两人决定晚上在寿克斯小路约会， 约定的时间是晚上七点到八点之间，当时没有手机，因此联络不便，於是任性的完治说 ：「是你想约我的喔，所以如果我先到了我没看到人我就会走罗！」而莉香说：「小气 鬼，那我最多等二十分钟喔！二十分钟内没看到你的话就表示我两没有缘分，我就会马 上离开。」已知两人必定会在限定的时间内到达，各自抵达的时间是随机，且假设每个 人在七点十五分到七点四十五分抵达的机率是其他时间的两倍。请回答下列问题： (1)10% 请问两人当天会在寿克斯小路见面的机率是多少？ (2)10% 假设完治愿意放下身段，说好两人最多都等十分钟，请问两人会在寿克斯小路见面 的机会是多少？ --

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