課程名稱︰管理數學 課程性質︰必修 課程教師︰黃以達 開課學院：管理學院 開課系所︰財務金融學系 考試日期（年月日）︰101.10.05 考試時限（分鐘）：50 是否需發放獎勵金：是 （如未明確表示，則不予發放） 試題 : Part A (50%) By TAs 一、20% ┌0 1 2┐ Find the PA=LU factorization for the matrix A=│0 3 8│ └2 1 1┘ 二、15% (True or False) Assume that A is an m by n matrix, then m (1) If m＞n, we can find a matrix whose column space is the whole space R . m (2) If m=n, we can find a matrix whose column space is the whole space R . m (3) If m＜n, we can find a matrix whose column space is the whole space R . 三、15% (True or False) ┌1 4┐ (1) We can find a nonzero vector as solution of Ax=0 where A=│3 15│ └-2 7┘ ┌1 4 2┐ (2) We can find a nonzero vector as solution of Bx=0 where B=└3 1 6┘ (3) We can find a nonzero vector as solution of Cx=0 where C=┌ 1 3 5 ┐ │ 2 7 10│ └ 310 15┘ Part B (55%) 四、5% (是非題) 有一矩陣A，經由列運算之後可以變成列已簡化梯形矩陣B，請問我們可以保證A矩陣的 行空間，必定等於B矩陣的行空間嗎？ 五、10% M (R) 表示為一個收集所有二階的實數方陣的集合。已知在一般的矩陣的乘法與係數積 2*2 的運算，M (R)會是一個向量空間。今定義S (R)表示為一個收集所有二階的實數對稱 2*2 2*2 矩陣的集合，請問S (R)會是M (R)的子空間嗎？請寫出你的理由。 2*2 2*2 六、15% (多重選擇題) (答案可能沒有或是一個以上) 3 在高中的向量加法以及係數積之下，請問下列的集合，那些會是R 的子空間？ 3 3 (1) {(a,b,c)∈R ,bc=0} (2) {(a,b,c)∈R │a∈R,b≧,c=0} 3 (3) {(a,b,c)∈R │a+b=0, b+c=0, a-c=0 } 七、(15%) (多重選擇題) (答案可能沒有或是一個以上) 設A為3*5矩陣，B為5*3矩陣，分別考慮A、B、AB、BA這四個矩陣的行空間，請問下列敘述 哪些是正確的？ (1) CS(AB)會是CS(A)的子空間 (2) CS(BA)會是CS(A)的子空間 (3) CS(AB)會是CS(B)的子空間 (4) CS(BA)會是CS(B)的子空間 八、(10%) (多重選擇題) (答案可能沒有或是一個以上) 根據課堂講一中所描述關於數學家阿貝爾的一生，下列敘述有哪些是正確的？ (1) 阿貝爾證明了四次方程式以上沒有根式解。 (2) 由於阿貝爾很窮，所以高斯出資幫他出版他在方程式論上最重要的論文 (3) 阿笨爾除了在數學上有所天分，也是一名著名的土木工程師。 (4) 數學家Grelle曾稱讚：「Abel留下的觀念可以讓數學家忙上150年」 Part C (30%) 九、5% (單選題) 提出集合論的分析方法的人是哪位數學家？ (1) 康托爾(Cantor) (2) 笛摩根 (De Morgan) (3) 克莫哥洛夫 (Kolmogorov) (4) 布爾(Boole) (5) 阿貝爾(Abel) 十、5% 若有一集合序列{E1,E2,….En}，稱為集合Ω的一個分割，則必須滿足那些條件？ 十一、10% 請寫下 Borel-field的定義。 十二、10% 以下是關於機率公設的兩個問題。 (1)6% 請完整地寫下Kolmogorov的三大機率公設。 (2)4% 請問上述的公社是在西元幾年的時候所發表的？ --

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