課程名稱︰管理數學 課程性質︰必修 課程教師︰黃以達 開課學院：管理學院 開課系所︰財務金融學系 考試日期（年月日）︰101.10.19 考試時限（分鐘）：180 是否需發放獎勵金：是 （如未明確表示，則不予發放） 試題 : 管理數學 台大財金系 第一次期中考試 Part A (10%) A1、1% 請將喬列斯基(Cholesky)，托馬斯●貝葉斯(Thomas Bayes)以及阿貝爾(Abel)、歐幾里 得、克莫哥洛夫(Kolmogorov)，五個人按照出生年代由遠到近排序。 A2、1% 請敘述何謂幾何上的平行公理。 A3、1% 請寫出一句在問題集有提過的歐幾里得的名言。 A4、1% 牛津大學自然歷史博物館中的歐幾里得雕像，請問他是哪一手抱在胸前？ A5、1% 托馬斯●貝葉斯是英國神學家、數學家、______家和哲學家。 A6、1% 最早使用機率的概念並寫出文字的人是誰？ A7、1% 最早使用代數者個字眼是哪一國的文字？ A8、1% Crelle曾經讚美阿貝爾為「當代最佳的___________」 A9、1% 阿貝爾在數學上聞名於世的研究是什麼？ A10、1% 人的一生都在經歷_______與______的過程之中，因此誕生了「數」。 Part B (90%) ┌ 1 2 0 1 ┐ B1、9% This question is about the matrix A= │ 2 4 1 4 │ └ 3 6 3 9 ┘ (1)3% Find the row reduced echelon form of A (2)2% Find the row space of A (3)1% How many independent columns of A ? (4)4% Find a basis for the nullspace of A. B2、6% This question is about the "basis" and "dimension". (1)3% Is {2x^2-4x+1, 3x+1, 6x-1} a basis of P2(R) ? Explain why. (2)3% Let S(n*n) be a space of any n by n real symmetric matrices. What is the dimension of S(n*n)? B3、8% This question is about "findinf solutions of linear system." 2x+2z+u=27 5x-y+6z+3u=65 ←→ Ax=b 4x+y+2z+2u=53 -7y+11z+2u=-3 (1) 1% Find A, x, b. (2) 7% Find the complete solution of Ax=b ┌1 3 5 ┐ B4、8% This question is about some "factorization" of A =│3 18 18 │ └5 18 26 ┘ (1) 4% Find the LDU factorization of A. (2) 4% Find the Cholesky(喬列斯基) factorization of A. B5、5% LET P be a Permutation matrix. Show that P^-1 = P^T ┌ 1 1 1 ┐ B6、5% Find the inversr of A=│ 3 4 8 │ └ 2 3 4 ┘ B7、5% ┌2 -1 1 0 ┐ Let A = │-1 2 1 0 │ │1 1 2 0 │ └0 0 0 2 ┘ Is A postitive definite or semi-positive definite ? Please write down your reason. B8、5% Let X be an m*n natrix, and assume that (X^TX)^-1 exist. Define H=X(X^TX)^-1X^T (1)2% Show that H^2 = H. (2)2% Show that H is symmetric. (3)1% Calculate (I-H)*X=? B9、4% 定義F(R)為一個收集所有實數值函數的集合，根據一般的函數加法與係數積，F(R)滿足 一個向量空間的定義。今有一F(R)上的子集合定義如下： S={sint, cost} 請問S內的向量彼此線性獨立嗎？請用數學說明。 B10、4% 假設A矩陣為一個m*n大小的矩陣，其秩的大小為r，關於此Ax=b線性方程組，回答下列問題 m (1)2% 對於所有b∈R 皆會無限多解，則可推論 m,n,r 之間的關係為何？ m (2)2% 對於所有b∈R 皆會唯一解，則可推論 m,n,r 之間的關係為何？ B11、5% m 設A為一個m*n大小的矩陣，並令其秩=r。今已知有一個b1∈R 使得 Ax=b1會無解，以及有 m 一個b2∈R 使得Ax=b2會唯一解。請用以上資訊回答下列問題： m (1)2% 請問是否存在一個b∈R 使得 Ax=b無限多解嗎？ (回是或否即可) (2)3% 請寫出m,n,r三者之間的大小關係。 B12、8% 以下是關於阿貝爾群的幾個問題： (1)4% 請定義何謂阿貝爾群？ (2)4% 假設有一個C集合，已知裡面只有虛數i這個元素，今在其上定義複數的乘法，若為 了使C滿足一個群的定義，則必須至少再加入那些元素才行？ B13、8% 下列是來自 rank(AB)≦min(rank(A), rank(B))證明中的一段敘述。 (1)4% Every columnof (AB) linear combimation of column vectors of ___1____.Therefore, ___2___ . Likewise, each row vector of (AB) is a linear combination of row vector of ____3____, then we obtain ____4____. 1. (a) A (b) B 2. (a)CS(AB)ㄈCS(A) (b) CS(AB)ㄈCS(B) (c)CS(A)ㄈCS(AB) (d)CS(B)ㄈCS(AB) 此題的ㄈ是"包含(含等於)的意思" 3. (a) A (b) B 4. (a)RS(AB)ㄈRS(A) (b) RS(AB)ㄈRS(B) (c)RS(A)ㄈRS(AB) (d)RS(B)ㄈRS(AB) 此題的ㄈ是"包含(含等於)的意思" (2)4% 請接續完成此證明。 4 B14、10% 設V與W皆為R 上的兩個子空間。分別定義如下： {2 0 2} {1 1 1} V=span{0，3，0} ，W=span{2，5，0} {0 0 1} {3 0 5} {8 1 2} {4 -3 4} (1)2% 設w1= (1 2 3 4)^T，請問w1有沒有在V裡面？ (2)8%請找出一組V∩W的基底。 (HARD！) Part C (30%) C1、2% 請敘述全機率定理。 C2、2% 請定義間斷型隨機變數。 C3、2% 請定義以下累加機率分配函數。 C4、2% 機率空間原本是三朵花，之後再開三朵花。請寫出後面那三朵花的名稱並簡單說明 後三朵中每朵花的內容。 C5、3% (Ω,F,P)為一個機率空間，且令H為一個可能發生的事件，即P(H)>0 ，則對於所 有的事件A∈F而言，我們定義一新機率測度PH: PH(A)=P(A│H) 請利用三大機率公設去證明(Ω,F,PH)亦為一個良好定義下的機率空間。 C6、3% 設Ie(w)為定義在(Ω,F,P)中的E上的一個指示函數，請證明Ie(w)亦為一隨機變數 C7、3% 今有一織帶廠公司，甲、乙、丙三人競選一經理職缺，公司內的員工都認為三人實力勢 均力敵，難分軒輊。有日，甲趁著一次喝酒的聚會，甲問董事長，「能不能先透露經理 這個職缺最後是誰當選阿？」董事長說：不行啊！我總要賣個關子。」甲說：「那這樣 好了，我不要猜我自己，我猜他們兩人之中的一人有沒有當選就好了。」董事長想想好 吧，應該是沒有透露什麼訊息吧！於是就答應了！甲說：「那乙有當選嗎？」董事長說 ：「沒有喔！其實前任董事不喜歡他的做事風格，我們也是聽他老人家的意思的！」請 問聽完此番話之後，此時甲當選的機率為何？ C8、4% 以下是引用某一篇社論的報導「現今的臺灣社會，普遍都有重男輕女的觀念，所以許多夫妻都會希望至少生一個男生，因此導致現在的社會男女比例失衡越來越嚴重。」某位研究者好奇這樣的說法是否正確？所以他作了以下的假設： 假設每對夫妻都可以自由的生育，生男生女的機率也假設為1/2，不考慮多胞胎，也不考慮太太年紀的問題，不考慮其他人工受孕的情況，若美剁夫妻遵守一個法則「至少升到一位男生才停止生育」，請問這個社會是不是男女失衡的情形會隨著時間經過越來越嚴重？請說明你的看法並盡可能加以數學佐證！ C9、4% 某一生物研究加想了解老鼠有沒有記憶力，於是他設計了一個迷宮，共有五個入口，但 只有一個入口可以走到出口，其他四個入口都會再次走回原點。假設每一條路徑老鼠所 需要走完的時間都是一分鐘。 (1)1% 假設老鼠會完全記憶，則我們認為老鼠會記得曾經走過的路徑，所以牠如果走錯回 到原點時，牠不會再選擇同一個入口進入，請問此老鼠走出迷宮的期望時間是多少？ (2)3% 假設老鼠會完全失憶，則我們認為老鼠旺忘記曾經走過的路徑，所以牠如果走錯回 到原點時，牠選擇任何一個入口進入的機率皆為0.2，請問此老鼠走出迷宮的期 望時間是多少？ C10、5% 赤名莉香與完治是一對在曖昧期的朋友，兩人決定晚上在壽克斯小路約會，約定的時間是 晚上七點到八點之間，當時沒有手機，因此連絡不便，於是人性的玩至說：「是你想約 我的喔，所以如果我先到了我沒看到人我就會走囉！」而莉香說：「小氣鬼，那我最多 等二十分鐘喔！二十分鐘內沒看到你的話就表示我兩沒有緣分，我就會馬上離開。」已 知完治抵達的時間是隨機的並均勻分布在這一小時內，但莉香在七點十五分到七點四十 五分抵達的機會是其他時間的兩倍。請問：兩人當天會在壽克斯小路見面的機率是多少？ --

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