课程名称︰管理数学 课程性质︰必修 课程教师︰黄以达 开课学院：管理学院 开课系所︰财务金融学系 考试日期（年月日）︰101.10.19 考试时限（分钟）：180 是否需发放奖励金：是 （如未明确表示，则不予发放） 试题 : 管理数学 台大财金系 第一次期中考试 Part A (10%) A1、1% 请将乔列斯基(Cholesky)，托马斯●贝叶斯(Thomas Bayes)以及阿贝尔(Abel)、欧几里 得、克莫哥洛夫(Kolmogorov)，五个人按照出生年代由远到近排序。 A2、1% 请叙述何谓几何上的平行公理。 A3、1% 请写出一句在问题集有提过的欧几里得的名言。 A4、1% 牛津大学自然历史博物馆中的欧几里得雕像，请问他是哪一手抱在胸前？ A5、1% 托马斯●贝叶斯是英国神学家、数学家、______家和哲学家。 A6、1% 最早使用机率的概念并写出文字的人是谁？ A7、1% 最早使用代数者个字眼是哪一国的文字？ A8、1% Crelle曾经赞美阿贝尔为「当代最佳的___________」 A9、1% 阿贝尔在数学上闻名於世的研究是什麽？ A10、1% 人的一生都在经历_______与______的过程之中，因此诞生了「数」。 Part B (90%) ┌ 1 2 0 1 ┐ B1、9% This question is about the matrix A= │ 2 4 1 4 │ └ 3 6 3 9 ┘ (1)3% Find the row reduced echelon form of A (2)2% Find the row space of A (3)1% How many independent columns of A ? (4)4% Find a basis for the nullspace of A. B2、6% This question is about the "basis" and "dimension". (1)3% Is {2x^2-4x+1, 3x+1, 6x-1} a basis of P2(R) ? Explain why. (2)3% Let S(n*n) be a space of any n by n real symmetric matrices. What is the dimension of S(n*n)? B3、8% This question is about "findinf solutions of linear system." 2x+2z+u=27 5x-y+6z+3u=65 ←→ Ax=b 4x+y+2z+2u=53 -7y+11z+2u=-3 (1) 1% Find A, x, b. (2) 7% Find the complete solution of Ax=b ┌1 3 5 ┐ B4、8% This question is about some "factorization" of A =│3 18 18 │ └5 18 26 ┘ (1) 4% Find the LDU factorization of A. (2) 4% Find the Cholesky(乔列斯基) factorization of A. B5、5% LET P be a Permutation matrix. Show that P^-1 = P^T ┌ 1 1 1 ┐ B6、5% Find the inversr of A=│ 3 4 8 │ └ 2 3 4 ┘ B7、5% ┌2 -1 1 0 ┐ Let A = │-1 2 1 0 │ │1 1 2 0 │ └0 0 0 2 ┘ Is A postitive definite or semi-positive definite ? Please write down your reason. B8、5% Let X be an m*n natrix, and assume that (X^TX)^-1 exist. Define H=X(X^TX)^-1X^T (1)2% Show that H^2 = H. (2)2% Show that H is symmetric. (3)1% Calculate (I-H)*X=? B9、4% 定义F(R)为一个收集所有实数值函数的集合，根据一般的函数加法与系数积，F(R)满足 一个向量空间的定义。今有一F(R)上的子集合定义如下： S={sint, cost} 请问S内的向量彼此线性独立吗？请用数学说明。 B10、4% 假设A矩阵为一个m*n大小的矩阵，其秩的大小为r，关於此Ax=b线性方程组，回答下列问题 m (1)2% 对於所有b∈R 皆会无限多解，则可推论 m,n,r 之间的关系为何？ m (2)2% 对於所有b∈R 皆会唯一解，则可推论 m,n,r 之间的关系为何？ B11、5% m 设A为一个m*n大小的矩阵，并令其秩=r。今已知有一个b1∈R 使得 Ax=b1会无解，以及有 m 一个b2∈R 使得Ax=b2会唯一解。请用以上资讯回答下列问题： m (1)2% 请问是否存在一个b∈R 使得 Ax=b无限多解吗？ (回是或否即可) (2)3% 请写出m,n,r三者之间的大小关系。 B12、8% 以下是关於阿贝尔群的几个问题： (1)4% 请定义何谓阿贝尔群？ (2)4% 假设有一个C集合，已知里面只有虚数i这个元素，今在其上定义复数的乘法，若为 了使C满足一个群的定义，则必须至少再加入那些元素才行？ B13、8% 下列是来自 rank(AB)≦min(rank(A), rank(B))证明中的一段叙述。 (1)4% Every columnof (AB) linear combimation of column vectors of ___1____.Therefore, ___2___ . Likewise, each row vector of (AB) is a linear combination of row vector of ____3____, then we obtain ____4____. 1. (a) A (b) B 2. (a)CS(AB)ㄈCS(A) (b) CS(AB)ㄈCS(B) (c)CS(A)ㄈCS(AB) (d)CS(B)ㄈCS(AB) 此题的ㄈ是"包含(含等於)的意思" 3. (a) A (b) B 4. (a)RS(AB)ㄈRS(A) (b) RS(AB)ㄈRS(B) (c)RS(A)ㄈRS(AB) (d)RS(B)ㄈRS(AB) 此题的ㄈ是"包含(含等於)的意思" (2)4% 请接续完成此证明。 4 B14、10% 设V与W皆为R 上的两个子空间。分别定义如下： {2 0 2} {1 1 1} V=span{0，3，0} ，W=span{2，5，0} {0 0 1} {3 0 5} {8 1 2} {4 -3 4} (1)2% 设w1= (1 2 3 4)^T，请问w1有没有在V里面？ (2)8%请找出一组V∩W的基底。 (HARD！) Part C (30%) C1、2% 请叙述全机率定理。 C2、2% 请定义间断型随机变数。 C3、2% 请定义以下累加机率分配函数。 C4、2% 机率空间原本是三朵花，之後再开三朵花。请写出後面那三朵花的名称并简单说明 後三朵中每朵花的内容。 C5、3% (Ω,F,P)为一个机率空间，且令H为一个可能发生的事件，即P(H)>0 ，则对於所 有的事件A∈F而言，我们定义一新机率测度PH: PH(A)=P(A│H) 请利用三大机率公设去证明(Ω,F,PH)亦为一个良好定义下的机率空间。 C6、3% 设Ie(w)为定义在(Ω,F,P)中的E上的一个指示函数，请证明Ie(w)亦为一随机变数 C7、3% 今有一织带厂公司，甲、乙、丙三人竞选一经理职缺，公司内的员工都认为三人实力势 均力敌，难分轩轾。有日，甲趁着一次喝酒的聚会，甲问董事长，「能不能先透露经理 这个职缺最後是谁当选阿？」董事长说：不行啊！我总要卖个关子。」甲说：「那这样 好了，我不要猜我自己，我猜他们两人之中的一人有没有当选就好了。」董事长想想好 吧，应该是没有透露什麽讯息吧！於是就答应了！甲说：「那乙有当选吗？」董事长说 ：「没有喔！其实前任董事不喜欢他的做事风格，我们也是听他老人家的意思的！」请 问听完此番话之後，此时甲当选的机率为何？ C8、4% 以下是引用某一篇社论的报导「现今的台湾社会，普遍都有重男轻女的观念，所以许多夫妻都会希望至少生一个男生，因此导致现在的社会男女比例失衡越来越严重。」某位研究者好奇这样的说法是否正确？所以他作了以下的假设： 假设每对夫妻都可以自由的生育，生男生女的机率也假设为1/2，不考虑多胞胎，也不考虑太太年纪的问题，不考虑其他人工受孕的情况，若美剁夫妻遵守一个法则「至少升到一位男生才停止生育」，请问这个社会是不是男女失衡的情形会随着时间经过越来越严重？请说明你的看法并尽可能加以数学佐证！ C9、4% 某一生物研究加想了解老鼠有没有记忆力，於是他设计了一个迷宫，共有五个入口，但 只有一个入口可以走到出口，其他四个入口都会再次走回原点。假设每一条路径老鼠所 需要走完的时间都是一分钟。 (1)1% 假设老鼠会完全记忆，则我们认为老鼠会记得曾经走过的路径，所以牠如果走错回 到原点时，牠不会再选择同一个入口进入，请问此老鼠走出迷宫的期望时间是多少？ (2)3% 假设老鼠会完全失忆，则我们认为老鼠旺忘记曾经走过的路径，所以牠如果走错回 到原点时，牠选择任何一个入口进入的机率皆为0.2，请问此老鼠走出迷宫的期 望时间是多少？ C10、5% 赤名莉香与完治是一对在暧昧期的朋友，两人决定晚上在寿克斯小路约会，约定的时间是 晚上七点到八点之间，当时没有手机，因此连络不便，於是人性的玩至说：「是你想约 我的喔，所以如果我先到了我没看到人我就会走罗！」而莉香说：「小气鬼，那我最多 等二十分钟喔！二十分钟内没看到你的话就表示我两没有缘分，我就会马上离开。」已 知完治抵达的时间是随机的并均匀分布在这一小时内，但莉香在七点十五分到七点四十 五分抵达的机会是其他时间的两倍。请问：两人当天会在寿克斯小路见面的机率是多少？ --

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