課程名稱︰線性代數二 課程性質︰數學系大一必修 課程教師︰翁秉仁 開課學院：理學院 開課系所︰數學系 考試日期︰2010年05月04日(五)，11:20-12:10 考試時限：50分鐘 是否需發放獎勵金：是 試題 : 　　　　　　　　　　　　　　Linear Algebra Quiz 　　　　　　　　　　　　　　　　2010/05/14 1.(30pt)Find the range of x such that the follwoing matrix is postive definite. 　　　　　　　　　　　　　　　　┌ x 1 0 ┐ 　　　　　　　　　　　　　　　　｜ 1 x -1 ｜ 　　　　　　　　　　　　　　　　└ 0 -1 x ┘ 2. (30pt) Whcih one of the following matrices is positive definite. Explain 　 your answer. Directly apply Sylvester's criterion is NOT encouraged. 　┌ 1/7 1/6 1/5 1/4 ┐ ┌ 1 -1/2 0 -1/2 ┐ ┌ 6 1 1 1 ┐ 　｜ 1/6 1/5 1/4 1/3 ｜ ｜ -1/2 1 -1/2 0 ｜ │ 1 5 1 1 │ 　｜ 1/5 1/4 1/3 1/2 ｜ ｜ 0 -1/2 1 -1/2 ｜ │ 1 1 0 1 │ 　└ 1/4 1/3 1/2 1 ┘ └ -1/2 0 -1/2 1 ┘ └ 1 1 1 1 ┘ 　┌ 10 -1 -2 -4 ┐ 　｜ -1 10 -6 -3 ｜ 　｜ -2 -6 10 -2 ｜ 　└ -4 -3 -2 1 ┘ 3. (40pt) A Cholevshy decomposition of a positive definite matrix A is A=(B^T)B 　,such that B is upper triangular with positive diagonal entries. 　(a) (30pt) Find the Cholevsky decomposition of 　　　　　　　　　　　　　　　　　 ┌ 2 -1 0 ┐ 　　　　　　　　　　　　　　　D3 = ｜ -1 2 -1 ｜ 　　　　　　　　　　　　　　　　　 └ 0 -1 2 ┘ 　(b) (10pt) Guess a general rule for the Cholevsky decomposition of the 　　　follwing matrix and verify it. 　　　　　　　　　　　　　　　 　┌ 2 -1 0 … 0 0 ┐ 　　　　　　　　　　　　　　　 　｜ -1 2 -1 … 0 0 ｜ 　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜ 0 -1 2 … 0 0 ｜ 　　　　　　　　　　　　　　Dn = ｜ … … … … … … ｜ 　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜ 0 0 0 … 2 -1 ｜ 　　　　　　　　　　　　　　　　 └ 0 0 0 … -1 2 ┘ --

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