課程名稱︰微積分乙上 課程性質︰必修 課程教師︰翁秉仁 開課學院： 開課系所︰牙醫 藥學 醫技 物治 職治 農化 公衛 考試日期（年月日）︰2013/04/16 考試時限（分鐘）：120mins 是否需發放獎勵金：是 （如未明確表示，則不予發放） 試題 : ■考卷共六頁。考試不能使用計算機。 ■無論計算或證明題，皆應詳述過程、理由，未寫出詳細過程者，一律不給分。 1. y(t)滿足微分方程式t^2*y'(t)=-1+y(t)^2+y'(t), 且y(2)=1/2 ,求y(10) [16%] 2. 若點(a,0,a)在曲面x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx=1上，求過(a,0,a)的切面方程式 [16%] (注意：答案可能不只一個，且答案中不應出現a) z=__x+__y+__ 3.已知三角形之面積公式可寫為A(a,b,θ)=absinθ/2 (A)求出A(a+Δa,b+Δb,θ+Δθ)之線性逼近公式 [6%] (B)若有一直角三角形，兩股各為a與b。有人說：「若將兩股的夾角稍微變大或變小（或說 將兩股稍微張開或收合），則面積大致不變」請用（Ａ）說明這一點 [6%] (C)... 4.有一函數f(x,y)=sin^-1(y/√x^2+y^2), x≠0且y≠0。回答下列問題： (A)求在(1,3)點，沿著梯度▽f方向的方向導數 [8%] (B)說明等高線疏密和梯度向量▽f的關係 [6%] (C)用(B)的結果判斷在(A)題中，離原點越遠時，等高線的疏密狀態 [4%] 5.有一函數f(x,y),x=rcosθ,y=rsinθ,且令g(r,θ)為前述函數之合成函數，求出完整之 dg(r,θ)/dr 與 dg(r,θ)/dθ 公式 (原本應該是偏微分的符號) [16%] 6.若y"(t)=4y(t),且y(0)=1,y'(0)=-2,求y(t)，先寫成泰勒展式的形式，再將它寫成你 熟悉的函數 [16%] --

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