课程名称︰微积分乙上 课程性质︰必修 课程教师︰翁秉仁 开课学院： 开课系所︰牙医 药学 医技 物治 职治 农化 公卫 考试日期（年月日）︰2013/04/16 考试时限（分钟）：120mins 是否需发放奖励金：是 （如未明确表示，则不予发放） 试题 : ■考卷共六页。考试不能使用计算机。 ■无论计算或证明题，皆应详述过程、理由，未写出详细过程者，一律不给分。 1. y(t)满足微分方程式t^2*y'(t)=-1+y(t)^2+y'(t), 且y(2)=1/2 ,求y(10) [16%] 2. 若点(a,0,a)在曲面x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx=1上，求过(a,0,a)的切面方程式 [16%] (注意：答案可能不只一个，且答案中不应出现a) z=__x+__y+__ 3.已知三角形之面积公式可写为A(a,b,θ)=absinθ/2 (A)求出A(a+Δa,b+Δb,θ+Δθ)之线性逼近公式 [6%] (B)若有一直角三角形，两股各为a与b。有人说：「若将两股的夹角稍微变大或变小（或说 将两股稍微张开或收合），则面积大致不变」请用（Ａ）说明这一点 [6%] (C)... 4.有一函数f(x,y)=sin^-1(y/√x^2+y^2), x≠0且y≠0。回答下列问题： (A)求在(1,3)点，沿着梯度▽f方向的方向导数 [8%] (B)说明等高线疏密和梯度向量▽f的关系 [6%] (C)用(B)的结果判断在(A)题中，离原点越远时，等高线的疏密状态 [4%] 5.有一函数f(x,y),x=rcosθ,y=rsinθ,且令g(r,θ)为前述函数之合成函数，求出完整之 dg(r,θ)/dr 与 dg(r,θ)/dθ 公式 (原本应该是偏微分的符号) [16%] 6.若y"(t)=4y(t),且y(0)=1,y'(0)=-2,求y(t)，先写成泰勒展式的形式，再将它写成你 熟悉的函数 [16%] --

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