課程名稱︰高等微積分二 課程性質︰系定必修 課程教師︰陳金次 開課學院：理學院 開課系所︰數學系 考試日期（年月日）︰2012/6/23 考試時限（分鐘）：180 是否需發放獎勵金：Yes （如未明確表示，則不予發放） 試題 : 1.方程組 x + y + uv = 0 xyu + v = 0 問在下列各給定點附近，u,v是否可表為x,y的函數? 若可，其可微分性如何? (a) (x,y,u,v) = (1,1,√2,-√2) (b) (x,y,u,v) = (0,0,0,0) 2. 下列二敘述正確否? 請證明之或舉反例。 (a) f屬於C^1(R),f'(x)≠0 for all x屬於R，則f的反函數g在R上大域存在(exists globally) 且g屬於C^1(R) (b) T屬於C^1(R^2),J_T(x)≠0 for all x=(x,)屬於R^2，則T的反函數S在R^2上 大域存在(exists globally)，且S屬於C^1(R^2) 3. ∞ 給定f屬於C^2[0,∞)，滿足 ∫ |f(x)| + |f''(x)| dx < ∞ 。 0 試證: lim f(x) = lim f'(x) = 0. x→∞ x→∞ 4. 方程組 f(x,y,z) = 0 g(x,y,z) = 0 f,g 屬於 C^2在(x_0,y_0,z_0)點附近，| f_y f_z | ≠0 | g_y g_z | 試證:存在x_0的鄰域I_δ(x_0)以及y=y(x),z=z(x)在I_δ(x_0)上滿足f(x,y(x),z(x))=0, g(x,y(x),z(x))=0,且y,z屬於C^1(I_δ(x_0))。 5. K(x,y) 在 [0,1]×[0,1]上的連續函數, |K(x,y)|< 1 ,for all (x,y) φ(x) 屬於 C[0,1] , 試証: 存在唯一 f 屬於 C[0,1] , 1 滿足 f(x) = φ(x) + ∫ K(x,y)f(y) dy 0 6.試找一保積寫像T:A→B其中A={(x,y)|x^2+y^2<1}, B=(0,√π)╳(0,√π) 7.φ(x)是週期為1的連續函數，其在[0,1]上的行為如右圖， (圖為一個二維的座標平面，畫出φ(x)在[0,1]的行為， 因為BBS無法畫所以我直接把函數寫出來。) φ(x) = { 2x if x 屬於[0,1/2] { 2-2x if x 屬於(1/2,1] 令f_n(x)=φ(nx),n = 1,2,3,...問: (a)f_n是否conv. weakly in L^2[0,1]？若是，收斂到何函數？ (b)f_n在[0,1]上是否均勻收斂 (c)f_n是否conv. strongly in L^2[0,1]？ (d)f_n在[0,1]上是否逐點收斂? (e)f_n在[0,1]上是否有逐點收斂的子序列? 8.f(x,t) 屬於C^1。當t=t_0時，f(x,t_0)在x_0點取local max。 問:當t微小變動時，f是否恆在x_0附近取local max? 若答案為否定，請舉例說明之。 你能對f給予適當地條件，以確保存在δ>0，使f(x,t)在x_0附近x(t)點取local max? (且x(t)在(t_0-δ,t_0+δ)上連續)若要求x(t)屬於C^1(t_0-δ,t_0+δ)，條件又如何? 9. (a) ∞ 求 ∫ sin(x)/x dx 之值。(不限方法，所依據之定理需交待清楚。) 0 (b)於上題中，令x = 2t 作分部積分，據此求 ∞ ∫ [sin^2(x)]/x^2 dx 之值。 0 10. sinyx ∞ f(x,y)=--------- , φ(y)= ∫ f(x,y) dx 之值。 x(x^2+1) 0 (a) ∞ 試證 φ'(y)= ∫ f_y(x,y) dx 0 (b) ∞ 試證 φ''(y)= ∫ f_yy(x,y) dx 0 --

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