课程名称︰高等微积分二 课程性质︰系定必修 课程教师︰陈金次 开课学院：理学院 开课系所︰数学系 考试日期（年月日）︰2012/6/23 考试时限（分钟）：180 是否需发放奖励金：Yes （如未明确表示，则不予发放） 试题 : 1.方程组 x + y + uv = 0 xyu + v = 0 问在下列各给定点附近，u,v是否可表为x,y的函数? 若可，其可微分性如何? (a) (x,y,u,v) = (1,1,√2,-√2) (b) (x,y,u,v) = (0,0,0,0) 2. 下列二叙述正确否? 请证明之或举反例。 (a) f属於C^1(R),f'(x)≠0 for all x属於R，则f的反函数g在R上大域存在(exists globally) 且g属於C^1(R) (b) T属於C^1(R^2),J_T(x)≠0 for all x=(x,)属於R^2，则T的反函数S在R^2上 大域存在(exists globally)，且S属於C^1(R^2) 3. ∞ 给定f属於C^2[0,∞)，满足 ∫ |f(x)| + |f''(x)| dx < ∞ 。 0 试证: lim f(x) = lim f'(x) = 0. x→∞ x→∞ 4. 方程组 f(x,y,z) = 0 g(x,y,z) = 0 f,g 属於 C^2在(x_0,y_0,z_0)点附近，| f_y f_z | ≠0 | g_y g_z | 试证:存在x_0的邻域I_δ(x_0)以及y=y(x),z=z(x)在I_δ(x_0)上满足f(x,y(x),z(x))=0, g(x,y(x),z(x))=0,且y,z属於C^1(I_δ(x_0))。 5. K(x,y) 在 [0,1]×[0,1]上的连续函数, |K(x,y)|< 1 ,for all (x,y) φ(x) 属於 C[0,1] , 试证: 存在唯一 f 属於 C[0,1] , 1 满足 f(x) = φ(x) + ∫ K(x,y)f(y) dy 0 6.试找一保积写像T:A→B其中A={(x,y)|x^2+y^2<1}, B=(0,√π)╳(0,√π) 7.φ(x)是周期为1的连续函数，其在[0,1]上的行为如右图， (图为一个二维的座标平面，画出φ(x)在[0,1]的行为， 因为BBS无法画所以我直接把函数写出来。) φ(x) = { 2x if x 属於[0,1/2] { 2-2x if x 属於(1/2,1] 令f_n(x)=φ(nx),n = 1,2,3,...问: (a)f_n是否conv. weakly in L^2[0,1]？若是，收敛到何函数？ (b)f_n在[0,1]上是否均匀收敛 (c)f_n是否conv. strongly in L^2[0,1]？ (d)f_n在[0,1]上是否逐点收敛? (e)f_n在[0,1]上是否有逐点收敛的子序列? 8.f(x,t) 属於C^1。当t=t_0时，f(x,t_0)在x_0点取local max。 问:当t微小变动时，f是否恒在x_0附近取local max? 若答案为否定，请举例说明之。 你能对f给予适当地条件，以确保存在δ>0，使f(x,t)在x_0附近x(t)点取local max? (且x(t)在(t_0-δ,t_0+δ)上连续)若要求x(t)属於C^1(t_0-δ,t_0+δ)，条件又如何? 9. (a) ∞ 求 ∫ sin(x)/x dx 之值。(不限方法，所依据之定理需交待清楚。) 0 (b)於上题中，令x = 2t 作分部积分，据此求 ∞ ∫ [sin^2(x)]/x^2 dx 之值。 0 10. sinyx ∞ f(x,y)=--------- , φ(y)= ∫ f(x,y) dx 之值。 x(x^2+1) 0 (a) ∞ 试证 φ'(y)= ∫ f_y(x,y) dx 0 (b) ∞ 试证 φ''(y)= ∫ f_yy(x,y) dx 0 --

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