課程名稱︰微積分乙上 課程性質︰必修 課程教師︰詹進吉 開課學院：管院 開課系所︰經濟、會計、工管等 考試日期（年月日）︰2011/11/10 考試時限（分鐘）：110 是否需發放獎勵金：是,THX （如未明確表示，則不予發放） 試題 : 壹、高中數學部分 一、設x≠0，試證｜x+1/x｜≧2，並請說明其中之等號何時成立？(4％) 二、設n∈N，且x＞-1，試證(1+x)^n≧1+nx (Bernouilli不等式) (6％) 又，當x＞0時，你能給出上式的什麼意義嗎？(2％) 〔事實上，0>x>-1時也有意義，即金融業中之信託，x相當於費率〕 三、設年利率為r (在此,r>0為一正的常數)，今將本金1元於年初存入銀行，以複利計算 且一直都不提領出任何錢。設經過n年(n∈R+)後，本利和變為2(即人們常說的double) 試證：nr≒√3 -1≒0.732 （據經驗顯示nr≒0.72=72％，例如若年利率r=8％，則n≒9(年)即9年可增一倍，此即 商業上之72法則。在此，記號≒表"近似"或"約略等於"之意。） 〔提示：本題即由(1+r)^n=2 (即是1元的2倍),利用二項式定理將左邊展開，取其前三 項，修飾一下，作出一個以nr為未知數的一元二次方程式，再解之即可得〕(6％) 貳、極限與連續部分 四、請問 lim（___1___）＝？(4％)。在本式子中 0＜___1___＜1， n→∞ 1+1/n 1+1/n 請問此極限與課本之定理 lim(n→∞)q^n＝0（但｜q｜＜1）有無矛盾？ 為什麼？請你解釋之。(4％) 五、求下列各小題之極限：其中[x]表不超過x之最大整數 ＿＿ ＿ (1) lim （√n+1 - √n ）＝？(6％) (2) lim 2^n sin __π__＝？(6％) n→∞ n→∞ 3^n (3) lim x〔1/x〕＝？(6％) (4) lim 〔x〕/ x＝？(6％) x→∞ x→∞ (5) lim （1＋_1_＋__1__）^n＝？(6％) (6) lim __e^x－e^-x__＝？(6％) n→∞ n n^2 x→+∞ e^x＋e^-x 六、試求下列極限： (A)設Ｘ1＝_1_＝1，Ｘ2＝__1__＝，Ｘ3＝___1___，....，Ｘn＝_____1_____ 1 1+2 1+2+3 1+2+3+...+n 請問lim(n→∞)Ｘn存在嗎？為什麼？(4％) 如果存在，limＸn＝？(4％) ＿ ──__─ ＿＿＿＿ (B)設a>0為一常數，又另Ｘ1＝√a，Ｘ2＝√a+√a ，一般地令Ｘn＝√Ｘn-1＋a 試證lim(n→∞)Ｘn存在 (5％) 並求出其極限值 (4％) 七、求極限 lim（1＋_x^2_）^(-n+1)/2＝？(6％) n→∞ n 〔按：這一題在統計學中之中央極限定理要用到。它說明當n很大時，t-分配會漸漸趨 向於常態分配〕 八、若a為一常數並滿足 lim（__x+a__）^x＝9，試求a＝？(6％) x→∞ x-a 九、設f在〔a,b〕上連續，且滿足f(〔a,b〕)⊆〔a,b〕。 試證〔a,b〕內存在一個點Ｘ0使得f(Ｘ0)＝Ｘ0 (7％) 〔按：此種點Ｘ0稱之為函數f之一個"固定點"(fixed point)。這結果在經濟學中頗為 重要〕 十、[1]何謂"一致連續"？(4％) 它與普通的"連續"有何不同？試說明之。(4％) [2]證明f(X)＝sinX在R上為一致連續。(4％) 十一、 [1]試證 lim __㏑(1+x)__＝1 (5％) x→0 x [2]應用(請參酌第三題)：已知㏑2＝loge2≒0.693151(查表可得)。同樣的題目，由 由2＝（1+r）^n，兩邊取自然對數得㏑2＝n·㏑（1+r）^n＝nr·㏑(1+r)∕r。 以後我們將學到㏑（1+r）＝r－__r^2__＋__r^3___……其中-1＜r≦1。 2 3 如果0＜r≦0.08＝8％，則上面㏑（1+r）之展開式(即右邊)取前兩項已差不多足 夠精確了。試證：nr≒0.72＝72％，即72法則的數學證明。(5％) 終於打完了手超痠...進吉兄連期中考考卷都一定要這麼多話嗎XD --

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