作者nonsenseee (oo)
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标题[试题] 100上 詹进吉 微积分乙上 期中考
时间Sat Nov 12 15:52:38 2011
课程名称︰微积分乙上
课程性质︰必修
课程教师︰詹进吉
开课学院:管院
开课系所︰经济、会计、工管等
考试日期(年月日)︰2011/11/10
考试时限(分钟):110
是否需发放奖励金:是,THX
(如未明确表示,则不予发放)
试题 :
壹、高中数学部分
一、设x≠0,试证|x+1/x|≧2,并请说明其中之等号何时成立?(4%)
二、设n∈N,且x>-1,试证(1+x)^n≧1+nx (Bernouilli不等式) (6%)
又,当x>0时,你能给出上式的什麽意义吗?(2%)
〔事实上,0>x>-1时也有意义,即金融业中之信托,x相当於费率〕
三、设年利率为r (在此,r>0为一正的常数),今将本金1元於年初存入银行,以复利计算
且一直都不提领出任何钱。设经过n年(n∈R+)後,本利和变为2(即人们常说的double)
试证:nr≒√3 -1≒0.732
(据经验显示nr≒0.72=72%,例如若年利率r=8%,则n≒9(年)即9年可增一倍,此即
商业上之72法则。在此,记号≒表"近似"或"约略等於"之意。)
〔提示:本题即由(1+r)^n=2 (即是1元的2倍),利用二项式定理将左边展开,取其前三
项,修饰一下,作出一个以nr为未知数的一元二次方程式,再解之即可得〕(6%)
贰、极限与连续部分
四、请问 lim(___1___)=?(4%)。在本式子中 0<___1___<1,
n→∞ 1+1/n 1+1/n
请问此极限与课本之定理 lim(n→∞)q^n=0(但|q|<1)有无矛盾?
为什麽?请你解释之。(4%)
五、求下列各小题之极限:其中[x]表不超过x之最大整数
__ _
(1) lim (√n+1 - √n )=?(6%) (2) lim 2^n sin __π__=?(6%)
n→∞ n→∞ 3^n
(3) lim x〔1/x〕=?(6%) (4) lim 〔x〕/ x=?(6%)
x→∞ x→∞
(5) lim (1+_1_+__1__)^n=?(6%) (6) lim __e^x-e^-x__=?(6%)
n→∞ n n^2 x→+∞ e^x+e^-x
六、试求下列极限:
(A)设X1=_1_=1,X2=__1__=,X3=___1___,....,Xn=_____1_____
1 1+2 1+2+3 1+2+3+...+n
请问lim(n→∞)Xn存在吗?为什麽?(4%) 如果存在,limXn=?(4%)
_ ──__─ ____
(B)设a>0为一常数,又另X1=√a,X2=√a+√a ,一般地令Xn=√Xn-1+a
试证lim(n→∞)Xn存在 (5%) 并求出其极限值 (4%)
七、求极限 lim(1+_x^2_)^(-n+1)/2=?(6%)
n→∞ n
〔按:这一题在统计学中之中央极限定理要用到。它说明当n很大时,t-分配会渐渐趋
向於常态分配〕
八、若a为一常数并满足 lim(__x+a__)^x=9,试求a=?(6%)
x→∞ x-a
九、设f在〔a,b〕上连续,且满足f(〔a,b〕)⊆〔a,b〕。
试证〔a,b〕内存在一个点X0使得f(X0)=X0 (7%)
〔按:此种点X0称之为函数f之一个"固定点"(fixed point)。这结果在经济学中颇为
重要〕
十、[1]何谓"一致连续"?(4%) 它与普通的"连续"有何不同?试说明之。(4%)
[2]证明f(X)=sinX在R上为一致连续。(4%)
十一、
[1]试证 lim __㏑(1+x)__=1 (5%)
x→0 x
[2]应用(请参酌第三题):已知㏑2=loge2≒0.693151(查表可得)。同样的题目,由
由2=(1+r)^n,两边取自然对数得㏑2=n·㏑(1+r)^n=nr·㏑(1+r)∕r。
以後我们将学到㏑(1+r)=r-__r^2__+__r^3___……其中-1<r≦1。
2 3
如果0<r≦0.08=8%,则上面㏑(1+r)之展开式(即右边)取前两项已差不多足
够精确了。试证:nr≒0.72=72%,即72法则的数学证明。(5%)
终於打完了手超酸...进吉兄连期中考考卷都一定要这麽多话吗XD
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◆ From: 111.80.254.84
1F:推 brianpass :这算话少了 我还记得我那年他还在题目里分享出国的 11/12 22:37
2F:→ brianpass :经验 11/12 22:37
3F:→ nonsenseee :天啊 真是个有个性的老师QQ 11/13 01:23
4F:推 chaos0102 :一楼少女杀手 11/14 07:46