課程名稱︰微積分乙上 課程性質︰必修 課程教師︰蔡聰明 開課學院： 開課系所︰藥學、農化、物治、醫技、生科、公衛、職治、牙醫 考試日期（年月日）︰100/01/11 考試時限（分鐘）：110 是否需發放獎勵金：是 試題 : (共110分) 1.求下列函數的導函數 dy/dx ： (20分) 3 (1) y = √[(x^2 - 2x) / (x^2 + 1)] (2) lny = e^x ‧ sinx (3) y = x^3 ‧ (lnx)^2 (4) y = (cosx)^x 2.利用L'Hopital規則求下列極限： (10分) (1) lim (lnx)^(1/x) x→∞ x^2 - sin^2(x) (2) lim ────── x→0 x^4 lnx 3.設f(x)= ───, x>0 (20分) x (i)求最大值 (ii)證明 e^π > π^e 4.假設 f'(x) = 0 , 對所有 x 屬於 (a,b) 證明: f(x) = C , 對所有 x 屬於 (a,b), 其中C為一個常數。 (10分) 5.甲乙兩人賽跑，同時出發且同時抵達終點，中間的過程互有快慢。試證 必存在有某個時刻，兩人具有相同的速度。令f(t)與g(t)分別表示兩人 在 t時刻的位置，t屬於[a,b]，並且假設他們皆為可微分函數。(10分) 6.用鐵皮製作圓柱罐頭，在容積固定下，使其最省材料，求罐頭的尺寸。 (10分) 7.設 y = f(x) = 2x - 3x^(2/3)。 求遞增與遞減的範圍、極值、凹口向 上與凹口向下的範圍、反曲點，並且作出函數圖形。 (30分) --

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