課程名稱︰微積分乙 課程性質︰必帶 課程教師︰王振男 開課學院：醫學院 開課系所︰醫學系 考試日期（年月日）︰2008/12/15 考試時限（分鐘）：20 是否需發放獎勵金：是 試題 : 1. (10%)Show that if α>-1 and β>α+1, the following integral converges ∞ x^α ∫ ─── dx ０ 1+x^β sol> α>-1 => -α<1, β>α+1 => β-α>1 ∞ x^α ∞ 1 ∫ ─── dx = ∫ ──────── dx ０ 1+x^β ０ x^(-α)+x^(β-α) １ 1 ∞ 1 = ∫ ──────── dx + ∫ ──────── dx ０ x^(-α)+x^(β-α) １ x^(-α)+x^(β-α) １ 1 ｂ 1 = lim ∫ ──────── dx + lim ∫ ──────── dx a→0+ ａ x^(-α)+x^(β-α) b→∞ １ x^(-α)+x^(β-α) 　１ 　 １ First, ─── >　──────── for any 0<x<1 x^(-α) x^(-α)+x^(β-α) １ １ １ 1 lim ∫ ─── dx converges => lim ∫ ──────── dx converges a→0+ ａ x^(-α) a→0+ ａ x^(-α)+x^(β-α) 　 １ 　 １ Second, ──── >　──────── for any 1<x<∞ x^(β-α) x^(-α)+x^(β-α) ｂ １ ｂ 1 lim ∫ ──── dx conv. => lim ∫ ──────── dx conv. b→∞ １ x^(β-α) b→∞ １ x^(-α)+x^(β-α) ∞ x^α Therefore ∫ ─── dx converges. ０ 1+x^β 2.(10%)solve the initial value problem: dy ── = αy(m-y), y(0) = y > 0 dt ° where α, m are positive constants. also, find lim y(t) t→∞ 1 1 sol> ──── dy = dt => ∫──── dy = (1/αm)∫{(1/y)+[1/(m-y)]} dy αy(m-y) αy(m-y) = (1/αm)(ln|y/(m-y)|) = t + C => |y/(m-y)| = (c')e^(αmt) 之後討論 m > y, m < y 的兩種情形, 並且代入起始條件求得c' 如果有錯請提出 感謝 這篇是打給班上同學用的 順便放上來 如果有獎勵當然很好 @.@ 按規定沒有的話也ok Orz --

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