作者liltwnboiz (TCL)
看板NTU-Exam
标题[试题] 97上 王振男 微积分乙上 第四次小考 (详解)
时间Mon Dec 13 19:52:35 2010
课程名称︰微积分乙
课程性质︰必带
课程教师︰王振男
开课学院：医学院
开课系所︰医学系
考试日期（年月日）︰2008/12/15
考试时限（分钟）：20
是否需发放奖励金：是
试题 :
1. (10%)Show that if α>-1 and β>α+1, the following integral converges
∞ x^α
∫ ─── dx
０ 1+x^β
sol> α>-1 => -α<1, β>α+1 => β-α>1
∞ x^α ∞ 1
∫ ─── dx = ∫ ──────── dx
０ 1+x^β ０ x^(-α)+x^(β-α)
１ 1 ∞ 1
= ∫ ──────── dx + ∫ ──────── dx
０ x^(-α)+x^(β-α) １ x^(-α)+x^(β-α)
１ 1 ｂ 1
= lim ∫ ──────── dx + lim ∫ ──────── dx
a→0+ ａ x^(-α)+x^(β-α) b→∞ １ x^(-α)+x^(β-α)
１ １
First, ─── > ──────── for any 0<x<1
x^(-α) x^(-α)+x^(β-α)
１ １ １ 1
lim ∫ ─── dx converges => lim ∫ ──────── dx converges
a→0+ ａ x^(-α) a→0+ ａ x^(-α)+x^(β-α)
１ １
Second, ──── > ──────── for any 1<x<∞
x^(β-α) x^(-α)+x^(β-α)
ｂ １ ｂ 1
lim ∫ ──── dx conv. => lim ∫ ──────── dx conv.
b→∞ １ x^(β-α) b→∞ １ x^(-α)+x^(β-α)
∞ x^α
Therefore ∫ ─── dx converges.
０ 1+x^β
2.(10%)solve the initial value problem:
dy
── = αy(m-y), y(0) = y > 0
dt °
where α, m are positive constants. also, find lim y(t)
t→∞
1 1
sol> ──── dy = dt => ∫──── dy = (1/αm)∫{(1/y)+[1/(m-y)]} dy
αy(m-y) αy(m-y)
= (1/αm)(ln|y/(m-y)|) = t + C => |y/(m-y)| = (c')e^(αmt)
之後讨论 m > y, m < y 的两种情形, 并且代入起始条件求得c'
如果有错请提出 感谢
这篇是打给班上同学用的 顺便放上来
如果有奖励当然很好 @.@
按规定没有的话也ok Orz
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◆ From: 140.112.7.59
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1F：推 windswiff :真是太感谢卷霖了TwT 12/13 19:58
2F：→ liltwnboiz :我不是卷啦 都炸光了 Orz 12/13 19:59
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3F：推 ALegmontnick:done 12/13 23:20
4F：→ liltwnboiz :这篇有错 请小板主重新增加 感谢 12/23 22:03
5F：→ liltwnboiz :等等不是这篇 Orz 12/23 22:03