課程名稱︰微積分乙 課程性質︰必修/可兼通識A6 課程教師︰陳宜良 開課學院： 開課系所︰生命科學系etc 考試日期（年月日）︰99/06/22 考試時限（分鐘）：110 是否需發放獎勵金：是 （如未明確表示，則不予發放） 試題 : 1.解人口的logistic模型 P'=λP(M-P),P(0) = P0,λ> 0,M > 0 且 0 < P0 < M。(10%) 2.(1)人體中製造並代謝糖分,通常會維持在一個均衡的血糖濃度σ,如果注射葡萄糖 則血液中血糖濃度 G(t)+σ 會遵循 G'(t) = -λG(t),λ是一個與人體代謝排出糖份 有關的常數 λ>0,請解出此方程式,並說明血糖會恢復到均衡濃度σ。(5%) (2)如果打點滴,連續注入葡萄糖,則血液濃度與葡萄糖注入速度μ和上述體內代謝有關 係如下 G'(t) = μ-λG(t),解出此方程式,並求出血糖的新均衡濃度。(5%) (3)說明怎麼利用(2)來提高低血糖患者中之血糖濃度。(5%) 3.解 y'= ( 1 + y^2 ) ｅ^t。(10%) 4.關於興建核電廠的意見,贊成的比例是2/5,反對的比例是1/2,無意見的比例是1/10。 (1)求訪談5人,有1人贊成、2人反對、2人無意見的機率。(7%) (2)令Χi表示訪談第i人的隨機變數,且Χi=1贊成;Χi=0無意見;Χi=-1反對, 令Ζ=Χ1 + Χ2 + Χ3 + Χ4,計算 P(Ζ= k),其中 k = 0,...,3。(8%) 5.若Χi~Χ,i = 1,2,...,n 且Χi彼此獨立,設Ε(Χ) = μ ,Var(Χ) = σ^2, n i=n ˍ 2 ΣΧi Σ( Χi－Χ ) ˍ i=1 i=1 定義隨機變數:Χ≡──── , S≡──────── n n ˍ ˍ σ^2 n－1 證明:Ε(Χ) = μ,Var(Χ) = ───, Ε(S) = ───σ^2　。 (15%) n n ∞ 6.定義Γ(α) = ∫ χ^(α-1)ｅ^-χ dχ,α>0 0 (1)證明Γ(n) = ( n － 1 )！, n屬於Ν。(5%) (2)證明Γ(1/2) = π^1/2。(5%) 7.若X,Y為獨立隨機變數並都遵守指數分配,λe^-λt,t>0。令Ζ= X+Y,求fz(t)。(10%) 8.敘述並証明柴比雪夫不等式。(10%) 9.Χ~Β(n,p,q)求Ε(Χ),Var(Χ)。(10%) --

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