课程名称︰微积分乙 课程性质︰必修/可兼通识A6 课程教师︰陈宜良 开课学院： 开课系所︰生命科学系etc 考试日期（年月日）︰99/06/22 考试时限（分钟）：110 是否需发放奖励金：是 （如未明确表示，则不予发放） 试题 : 1.解人口的logistic模型 P'=λP(M-P),P(0) = P0,λ> 0,M > 0 且 0 < P0 < M。(10%) 2.(1)人体中制造并代谢糖分,通常会维持在一个均衡的血糖浓度σ,如果注射葡萄糖 则血液中血糖浓度 G(t)+σ 会遵循 G'(t) = -λG(t),λ是一个与人体代谢排出糖份 有关的常数 λ>0,请解出此方程式,并说明血糖会恢复到均衡浓度σ。(5%) (2)如果打点滴,连续注入葡萄糖,则血液浓度与葡萄糖注入速度μ和上述体内代谢有关 系如下 G'(t) = μ-λG(t),解出此方程式,并求出血糖的新均衡浓度。(5%) (3)说明怎麽利用(2)来提高低血糖患者中之血糖浓度。(5%) 3.解 y'= ( 1 + y^2 ) ｅ^t。(10%) 4.关於兴建核电厂的意见,赞成的比例是2/5,反对的比例是1/2,无意见的比例是1/10。 (1)求访谈5人,有1人赞成、2人反对、2人无意见的机率。(7%) (2)令Χi表示访谈第i人的随机变数,且Χi=1赞成;Χi=0无意见;Χi=-1反对, 令Ζ=Χ1 + Χ2 + Χ3 + Χ4,计算 P(Ζ= k),其中 k = 0,...,3。(8%) 5.若Χi~Χ,i = 1,2,...,n 且Χi彼此独立,设Ε(Χ) = μ ,Var(Χ) = σ^2, n i=n ˍ 2 ΣΧi Σ( Χi－Χ ) ˍ i=1 i=1 定义随机变数:Χ≡──── , S≡──────── n n ˍ ˍ σ^2 n－1 证明:Ε(Χ) = μ,Var(Χ) = ───, Ε(S) = ───σ^2　。 (15%) n n ∞ 6.定义Γ(α) = ∫ χ^(α-1)ｅ^-χ dχ,α>0 0 (1)证明Γ(n) = ( n － 1 )！, n属於Ν。(5%) (2)证明Γ(1/2) = π^1/2。(5%) 7.若X,Y为独立随机变数并都遵守指数分配,λe^-λt,t>0。令Ζ= X+Y,求fz(t)。(10%) 8.叙述并证明柴比雪夫不等式。(10%) 9.Χ~Β(n,p,q)求Ε(Χ),Var(Χ)。(10%) --

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