課程名稱︰高等微積分一 課程性質︰數學系必修 課程教師︰陳金次 教授 開課學院：理學院 開課系所︰數學系 考試日期（年月日）︰ 98/10/24 考試時限（分鐘）： 180分鐘 是否需發放獎勵金：是 （如未明確表示，則不予發放） 試題 : 甲、第一部分 (以下六題全做，每題10分) 1.在邏輯上，前提非真，則不論結論為何，命題恆成立。依此，可推論空集合ψ包含於任 意集合S，其理由如下:"設x∈ψ(非真，因空集合不含任何元素)，則x∈S" 上命題成立，故ψ⊂S. 同理，我們也可說："x∈ψ，則x不屬於S"上命題亦成立，故ψ不包含於S。 請問：問題出在那裏？ 2.國中數學中常看到如下的問題和解答： 求：√(2+√(2+√(2+√......))) 解：令 x = √(2+√(2+√(2+√......))) ， 兩邊平方得 x^2 = 2+x. 移項分解因式得(x+1)(x-2)=0，x>0 ∴x=2 請問：這樣的解法在邏輯上說得通嗎？如不妥，請修正之。 3.寫出下命題的否定命題： (設f為定義於[a,b]上的函數) ∀ε>0，∃δ，使得 |f(x)-f(y)|<ε 當|x-y|<δ，x,y∈[a,b] 4.找一 1-1,onto map，把[0,1]映成(0,2) 5. a,b,c為複數，決定r使|z^3|>|a(z^2)+bz+c|, ∀|z|>r , 其中z為複數 6. f(x) = { (x^2)sin(1/x) 0<x≦1 { 0 x=0 試証：f在[0,1]上處處可導，但f'在[0,1]上並非處處連續。 乙、第二部分 (以下六題，任選五題作答) 7.f為定義於[a,b]上的函數，若對任意數列{x_n}⊂[a,b]，Σf(x_n)恆收斂(n=1 to ∞)， (x_n各項均相異) 試證：集合S={x|x∈[a,b]，f(x)≠0}頂多countable (20分) 8.利用ε-δ論述，證明： lim(x→2)(x-2)/√(x^2+x+3) = 1 (20分) 9.在實數的建構中，試證：ξ∈R，ξ≠0 則∃η∈R使ξ．η=1 (20分) 10.給定非空集合S，令Ρ(S)={A|A⊂S}，稱為S的power set。 試證：不存在 1-1,onto map f 把S映成Ｐ(S) (20分) 11.Fibonacci數列{a_n}={1,1,2,3,5,8,13,...}. 令x_n=a_(n+1)/a_n 試證：lim(n→∞) x_n 存在，並求此極限。 12.f在[a,b]上連續，若任意x∈[a,b]都是f的極小點。 試證：f為常函數 註：此部分6選5可全部作答，我們會取最高的5題計分。 註2：第9題實數的建構方式以課堂上的方式為準，並假定 "加法，加法單位元ρ，加法反元素存在。乘法，乘法單位元1"是well-defined，已知 --

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