课程名称︰高等微积分一 课程性质︰数学系必修 课程教师︰陈金次 教授 开课学院：理学院 开课系所︰数学系 考试日期（年月日）︰ 98/10/24 考试时限（分钟）： 180分钟 是否需发放奖励金：是 （如未明确表示，则不予发放） 试题 : 甲、第一部分 (以下六题全做，每题10分) 1.在逻辑上，前提非真，则不论结论为何，命题恒成立。依此，可推论空集合ψ包含於任 意集合S，其理由如下:"设x∈ψ(非真，因空集合不含任何元素)，则x∈S" 上命题成立，故ψ⊂S. 同理，我们也可说："x∈ψ，则x不属於S"上命题亦成立，故ψ不包含於S。 请问：问题出在那里？ 2.国中数学中常看到如下的问题和解答： 求：√(2+√(2+√(2+√......))) 解：令 x = √(2+√(2+√(2+√......))) ， 两边平方得 x^2 = 2+x. 移项分解因式得(x+1)(x-2)=0，x>0 ∴x=2 请问：这样的解法在逻辑上说得通吗？如不妥，请修正之。 3.写出下命题的否定命题： (设f为定义於[a,b]上的函数) ∀ε>0，∃δ，使得 |f(x)-f(y)|<ε 当|x-y|<δ，x,y∈[a,b] 4.找一 1-1,onto map，把[0,1]映成(0,2) 5. a,b,c为复数，决定r使|z^3|>|a(z^2)+bz+c|, ∀|z|>r , 其中z为复数 6. f(x) = { (x^2)sin(1/x) 0<x≦1 { 0 x=0 试证：f在[0,1]上处处可导，但f'在[0,1]上并非处处连续。 乙、第二部分 (以下六题，任选五题作答) 7.f为定义於[a,b]上的函数，若对任意数列{x_n}⊂[a,b]，Σf(x_n)恒收敛(n=1 to ∞)， (x_n各项均相异) 试证：集合S={x|x∈[a,b]，f(x)≠0}顶多countable (20分) 8.利用ε-δ论述，证明： lim(x→2)(x-2)/√(x^2+x+3) = 1 (20分) 9.在实数的建构中，试证：ξ∈R，ξ≠0 则∃η∈R使ξ．η=1 (20分) 10.给定非空集合S，令Ρ(S)={A|A⊂S}，称为S的power set。 试证：不存在 1-1,onto map f 把S映成Ｐ(S) (20分) 11.Fibonacci数列{a_n}={1,1,2,3,5,8,13,...}. 令x_n=a_(n+1)/a_n 试证：lim(n→∞) x_n 存在，并求此极限。 12.f在[a,b]上连续，若任意x∈[a,b]都是f的极小点。 试证：f为常函数 注：此部分6选5可全部作答，我们会取最高的5题计分。 注2：第9题实数的建构方式以课堂上的方式为准，并假定 "加法，加法单位元ρ，加法反元素存在。乘法，乘法单位元1"是well-defined，已知 --

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