課程名稱︰微積分甲上 課程性質︰數學系大一必修 課程教師︰李白飛 開課學院： 開課系所︰ 考試日期（年月日）︰2010/01/14 考試時限（分鐘）：兩個半小時 是否需發放獎勵金：是 （如未明確表示，則不予發放） 試題 : 注意:請將計算所得答案整理化簡 ln x ln 2 1.試證方程式─── = ───有2正根且僅有2正根。 x 2 1 2.試證若x≠0，則arctan(√2 x+1)-arctan(√2 x-1)=arctan(── )。 x^2 3.試求下列各極限之值： tan(πx/2) (a)lim (2-x)^ x→1 1 1 (b)lim ─────────── - ────── x→0 √[ln( x + √(1+x^2)] √ln(1+x) 1 1 4.(a)設m與n為正整數，試證∫ x^m (1-x)^n dx=∫ x^n (1-x)^m dx。 0 0 1 (b)試求∫ x^2 (1-x)^8 dx之值。 0 1 5.設n為正整數，試求∫(1-x^2)^n dx之值。 0 1 1 1 6.試求極限lim (─────── + ─────── +...+ ────────)之值。 n→∞ √[n^2 + 1^2] √[n^2 + 2^2] √[n^2 + n^2] 7.考慮一頂角為2α，夾邊為a之扇形，其中a>0，0<a<π。 (a)試求其形心與頂點之距離，並求當α→0時此距離之極限。 (b)若將此扇形繞其頂角平分線旋轉，試求所得立體之體積。 8.試求曲線x=ln(1+t^2)，y=2arctan t，0≦t≦1，之弧長。 9.試求蚶線r=1+2cosθ內外圈之間的面積。 --

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