课程名称︰微积分甲上 课程性质︰数学系大一必修 课程教师︰李白飞 开课学院： 开课系所︰ 考试日期（年月日）︰2010/01/14 考试时限（分钟）：两个半小时 是否需发放奖励金：是 （如未明确表示，则不予发放） 试题 : 注意:请将计算所得答案整理化简 ln x ln 2 1.试证方程式─── = ───有2正根且仅有2正根。 x 2 1 2.试证若x≠0，则arctan(√2 x+1)-arctan(√2 x-1)=arctan(── )。 x^2 3.试求下列各极限之值： tan(πx/2) (a)lim (2-x)^ x→1 1 1 (b)lim ─────────── - ────── x→0 √[ln( x + √(1+x^2)] √ln(1+x) 1 1 4.(a)设m与n为正整数，试证∫ x^m (1-x)^n dx=∫ x^n (1-x)^m dx。 0 0 1 (b)试求∫ x^2 (1-x)^8 dx之值。 0 1 5.设n为正整数，试求∫(1-x^2)^n dx之值。 0 1 1 1 6.试求极限lim (─────── + ─────── +...+ ────────)之值。 n→∞ √[n^2 + 1^2] √[n^2 + 2^2] √[n^2 + n^2] 7.考虑一顶角为2α，夹边为a之扇形，其中a>0，0<a<π。 (a)试求其形心与顶点之距离，并求当α→0时此距离之极限。 (b)若将此扇形绕其顶角平分线旋转，试求所得立体之体积。 8.试求曲线x=ln(1+t^2)，y=2arctan t，0≦t≦1，之弧长。 9.试求蚶线r=1+2cosθ内外圈之间的面积。 --

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