課程名稱︰線性代數 課程性質︰必修 課程教師︰陳文進 開課學院：電資院 開課系所︰資訊系 考試日期（年月日）︰971120 考試時限（分鐘）：160分 是否需發放獎勵金：是 （如未明確表示，則不予發放） 試題 : 1. (10%) x1 + x2 = -a x2 + x3 = b x3 + x4 = -c x4 + x1 = d 有解，則常數 a, b, c, d 應滿足何條件 2. (10%) 若 m x n 矩陣 A 的 rank 為 r ，則下列有關方程組 Ax = b 的敘述 哪些為真？並簡述其理由 (a)r=m時, 方程組 Ax = b 有解 (b)r=n時, 方程組 Ax = b 有唯一解 (c)m=n時, 方程組 Ax = b 有唯一解 (d)r<n時, 方程組 Ax = b 有無窮多解 3. 若直線 x + y - 2z + 1 = 0 在平面 2x + y + 2z + 3 =0 上的投影直線方程式為 2x - 3y + z = 0 x - a y - b z ______ = ______ = ___ , 求 a, b, m, n m n 1 4.已知3x3矩陣A與3維向量x, 使得3個向量x, Ax, (A^2)X為線性獨立 且滿足(A^3)X=3AX-2(A^2)X若矩陣P的第1第2第3個行向量依序為x, Ax, (A^2)x 求3階矩陣B,使得A=PB(P^-1) 5.A和B為兩個nxn的矩陣且AB+BA=I, 其中I為n階單位矩陣 求證(A^3)B + B(A^3) = A^2 6.設矩陣A= ┌ 1 2 0 0 ┐, B=(I+A)^-1(I-A), I為4階單位矩陣, │-2 3 4 0 │ │ 0 -4 5 6 │ └ 0 0 -6 7 ┘ 求(I+B)^-1 7.試證三向量a, b, c線性獨立, 若且唯若三向量a, a+b, a+b+c 線性獨立 8.設{e1, e2, e3} 為 R^3的一組基底 已知 a1= e1 + e2 - 2e3 a2= e1 - e2 - e3 a3= a1 + e3 (a) 試證{a1, a2, a3}是R^3的一組基底 (b) 求向量 x = 6e1 - e2 - e3 關於基底{a1, a2, a3}的座標 9.矩陣A=┌ 1 1 0 ┐, 試用課本介紹的方法求R(A), C(A) N(A) N(A^T)各子空間 │ 2 1 1 │ └ 1 -1 2 ┘ 之一組基底, 並簡述何以所求之向量組構成基底 --

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