课程名称︰线性代数 课程性质︰必修 课程教师︰陈文进 开课学院：电资院 开课系所︰资讯系 考试日期（年月日）︰971120 考试时限（分钟）：160分 是否需发放奖励金：是 （如未明确表示，则不予发放） 试题 : 1. (10%) x1 + x2 = -a x2 + x3 = b x3 + x4 = -c x4 + x1 = d 有解，则常数 a, b, c, d 应满足何条件 2. (10%) 若 m x n 矩阵 A 的 rank 为 r ，则下列有关方程组 Ax = b 的叙述 哪些为真？并简述其理由 (a)r=m时, 方程组 Ax = b 有解 (b)r=n时, 方程组 Ax = b 有唯一解 (c)m=n时, 方程组 Ax = b 有唯一解 (d)r<n时, 方程组 Ax = b 有无穷多解 3. 若直线 x + y - 2z + 1 = 0 在平面 2x + y + 2z + 3 =0 上的投影直线方程式为 2x - 3y + z = 0 x - a y - b z ______ = ______ = ___ , 求 a, b, m, n m n 1 4.已知3x3矩阵A与3维向量x, 使得3个向量x, Ax, (A^2)X为线性独立 且满足(A^3)X=3AX-2(A^2)X若矩阵P的第1第2第3个行向量依序为x, Ax, (A^2)x 求3阶矩阵B,使得A=PB(P^-1) 5.A和B为两个nxn的矩阵且AB+BA=I, 其中I为n阶单位矩阵 求证(A^3)B + B(A^3) = A^2 6.设矩阵A= ┌ 1 2 0 0 ┐, B=(I+A)^-1(I-A), I为4阶单位矩阵, │-2 3 4 0 │ │ 0 -4 5 6 │ └ 0 0 -6 7 ┘ 求(I+B)^-1 7.试证三向量a, b, c线性独立, 若且唯若三向量a, a+b, a+b+c 线性独立 8.设{e1, e2, e3} 为 R^3的一组基底 已知 a1= e1 + e2 - 2e3 a2= e1 - e2 - e3 a3= a1 + e3 (a) 试证{a1, a2, a3}是R^3的一组基底 (b) 求向量 x = 6e1 - e2 - e3 关於基底{a1, a2, a3}的座标 9.矩阵A=┌ 1 1 0 ┐, 试用课本介绍的方法求R(A), C(A) N(A) N(A^T)各子空间 │ 2 1 1 │ └ 1 -1 2 ┘ 之一组基底, 并简述何以所求之向量组构成基底 --

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