課程名稱︰ 高等微積分二 課程性質︰ 系定必修 課程教師︰ 陳金次 開課學院： 理學院 開課系所︰ 數學系 考試日期（年月日）︰ 20080621 考試時限（分鐘）： 180分鐘 是否需發放獎勵金： yes （如未明確表示，則不予發放） 試題 : β 1. f(x)在[a,b]上Riemann可積,且 ∫ f(x) dx = 0 , for all α,β α β 且 a < α < β < b , 試証明: ∫ |f(x)| dx = 0 α ∞ 2. f 在[a,b]×[0,∞]連續,且∫ f(x,y) dy收斂, for all x 屬於[a,b] 0 d ∞ ∞ 請給適當條件以確保 ------∫ f(x,y) dy = ∫ f (x,y) dy 成立 dx 0 0 x 並証明你的定理 ∞ sin(xy) 3. (a) 試証明 I = ∫ ----------- dy 收斂 , for all x 0 y^(3/2) (b) 求 I 之值 ∞ sin(tx) 4. 求 ∫ ------------ dx 之值 0 x(x^2+1) 5. 找一保積(面積)寫像,把頂點為 (0,0) (2,0) (0,1) 的三角形 映至 [0,1]×[0,1] 6. 點 p(0,0,1) 滿足方程式 x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 1 (a) 問在p點附近, z是否可以表成x,y的函數 (b) 問在p點附近, x是否可以表成y,z的函數 (c) 如可以, 其可微性如何? 2 7. f(x,t) 屬於 C , 當 t=0 時 f(x,0) 在 x_0 點取極小值 , 當t微動時 f(x,t) 在 x(t)點取極小值 (a) 問x(t)是否在t=0點連續 (b) 請給出一個適當條件以確保x(t)在0點附近連續 (c) x(t)的微分性如何? 2 8. A 為 R 的一個單連通集 (simply connected region ) , B為單位圓盤 2 T: A → R 滿足 B 為 T(A) 的真子集 , T(pA) = pB ↑ ( p是偏微符號 符號表找不到 ) 試証明: 存在 X_0 屬於 interior of A , st J ( X_0 ) = 0 T 3 1 9. B為R 中的單位球 φ(X) = ∫ -------------- dY , 0 < α < 3 , B | X - Y |^α X = (x_1,x_2,x_3) , Y = (y_1,y_2,y_3) (a) 試証: φ對 r遞減 , r = |X| f(Y) (b) 若 f = f(X) ↓stirctly in r , φ(X) = ∫ -------------- dY B | X - Y |^α 則 (a)的結論是否仍成立? (任選八題 , 每題20分) --

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