课程名称︰ 高等微积分二 课程性质︰ 系定必修 课程教师︰ 陈金次 开课学院： 理学院 开课系所︰ 数学系 考试日期（年月日）︰ 20080621 考试时限（分钟）： 180分钟 是否需发放奖励金： yes （如未明确表示，则不予发放） 试题 : β 1. f(x)在[a,b]上Riemann可积,且 ∫ f(x) dx = 0 , for all α,β α β 且 a < α < β < b , 试证明: ∫ |f(x)| dx = 0 α ∞ 2. f 在[a,b]×[0,∞]连续,且∫ f(x,y) dy收敛, for all x 属於[a,b] 0 d ∞ ∞ 请给适当条件以确保 ------∫ f(x,y) dy = ∫ f (x,y) dy 成立 dx 0 0 x 并证明你的定理 ∞ sin(xy) 3. (a) 试证明 I = ∫ ----------- dy 收敛 , for all x 0 y^(3/2) (b) 求 I 之值 ∞ sin(tx) 4. 求 ∫ ------------ dx 之值 0 x(x^2+1) 5. 找一保积(面积)写像,把顶点为 (0,0) (2,0) (0,1) 的三角形 映至 [0,1]×[0,1] 6. 点 p(0,0,1) 满足方程式 x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 1 (a) 问在p点附近, z是否可以表成x,y的函数 (b) 问在p点附近, x是否可以表成y,z的函数 (c) 如可以, 其可微性如何? 2 7. f(x,t) 属於 C , 当 t=0 时 f(x,0) 在 x_0 点取极小值 , 当t微动时 f(x,t) 在 x(t)点取极小值 (a) 问x(t)是否在t=0点连续 (b) 请给出一个适当条件以确保x(t)在0点附近连续 (c) x(t)的微分性如何? 2 8. A 为 R 的一个单连通集 (simply connected region ) , B为单位圆盘 2 T: A → R 满足 B 为 T(A) 的真子集 , T(pA) = pB ↑ ( p是偏微符号 符号表找不到 ) 试证明: 存在 X_0 属於 interior of A , st J ( X_0 ) = 0 T 3 1 9. B为R 中的单位球 φ(X) = ∫ -------------- dY , 0 < α < 3 , B | X - Y |^α X = (x_1,x_2,x_3) , Y = (y_1,y_2,y_3) (a) 试证: φ对 r递减 , r = |X| f(Y) (b) 若 f = f(X) ↓stirctly in r , φ(X) = ∫ -------------- dY B | X - Y |^α 则 (a)的结论是否仍成立? (任选八题 , 每题20分) --

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