課程名稱︰微積分乙 課程性質︰系定必修 課程教師︰詹進吉 開課學院： 開課系所︰ 考試日期（年月日）︰97/4/17 考試時限（分鐘）：110 是否需發放獎勵金：是 （如未明確表示，則不予發放） 試題 : 一：求不定積分 1） ∫dx / a^2*(sinx)^2+b^2*(cosx)^2 a，b >0之常數 2) ∫(㏑x)^2 dx 二: 1) 試證 lim∫1+1/2+1/3+....+1/n / ㏑n =1 n→∞ x 2) 求 lim 1/x∫cos(t^2)dt x→0 0 1 3) 求 ∫ ㏑(1+x) / 1+x^2 dx 0 e 4) 求 ∫x^2 ㏑x dx 1 三: 設f在[a,b]上二階可導，且F"(x)>0 ∀x∈(a,b) 1) f常被稱為什麼函數 b 2) 試證 f(a+b/2)≦ 1/b-a ∫f(x)dx a 四: 求內擺線x=a(cost)^3 y=a(sint)^3 a>0 所圍之圖形面積 五: 求擺線 x=a(t-sint) y=a(1-cost) a>0 一拱與x軸鎖微平面(有限)區域之 面積以及一拱之弧長 六: 1) 在3維歐式空間R^3中，求介於兩個圓柱面 x^2+z^2=a^2 和 y^2+z^2=a^2 (a>0常數)所圍立體(牟合方蓋)之體積 2) 唐代李淳風的"九章算術註"中提到南北朝祖冲之和其子祖恆所發現之祖恆定理 ".....緣冪勢既同，其積不容異" a) 冪、勢所指為何 b) 將此句翻成白話文，又這個定理在西方數學界被稱為什麼定理 七: +∞ +∞ 1) 說明廣義積分∫x*(e^(-x^2/2))dx 和 ∫ x^2*(e^(-x^2/2))dx 必收斂 -∞ -∞ +∞ ╴╴ 2) 假定 ∫ e^(-x^2/2)dx=√2π -∞ +∞ +∞ ╴╴ 試證 ∫x*(e^(-x^2/2))dx=0 和 ∫ x^2*(e^(-x^2/2))dx=√2π +∞ -∞ 八: 1) 設i=i(t)為對t可微的函數，令i(0)=iˇ0 而λ>0為常數 若i=i(t)滿足下列一階微分方程式 di/dt=λi(1-i) 求 i=i(t)之表達式，就是上列微分方程式解 提示:可視t為i之函數，求不定積分，再求反函數 求 lim i(t) t→+∞ -- █▂█▃███ ██ ▋▏ █▂ ▊█ ◥◤ █▆ ▉█ i▉ ▉ ▆█ █▆ █▅ ◢◣ --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.215.93 ※ 編輯: fattyfox 來自: 140.112.215.93 (04/18 23:46) ※ 編輯: fattyfox 來自: 123.0.202.31 (04/20 13:36)