课程名称︰微积分乙 课程性质︰系定必修 课程教师︰詹进吉 开课学院： 开课系所︰ 考试日期（年月日）︰97/4/17 考试时限（分钟）：110 是否需发放奖励金：是 （如未明确表示，则不予发放） 试题 : 一：求不定积分 1） ∫dx / a^2*(sinx)^2+b^2*(cosx)^2 a，b >0之常数 2) ∫(㏑x)^2 dx 二: 1) 试证 lim∫1+1/2+1/3+....+1/n / ㏑n =1 n→∞ x 2) 求 lim 1/x∫cos(t^2)dt x→0 0 1 3) 求 ∫ ㏑(1+x) / 1+x^2 dx 0 e 4) 求 ∫x^2 ㏑x dx 1 三: 设f在[a,b]上二阶可导，且F"(x)>0 ∀x∈(a,b) 1) f常被称为什麽函数 b 2) 试证 f(a+b/2)≦ 1/b-a ∫f(x)dx a 四: 求内摆线x=a(cost)^3 y=a(sint)^3 a>0 所围之图形面积 五: 求摆线 x=a(t-sint) y=a(1-cost) a>0 一拱与x轴锁微平面(有限)区域之 面积以及一拱之弧长 六: 1) 在3维欧式空间R^3中，求介於两个圆柱面 x^2+z^2=a^2 和 y^2+z^2=a^2 (a>0常数)所围立体(牟合方盖)之体积 2) 唐代李淳风的"九章算术注"中提到南北朝祖冲之和其子祖恒所发现之祖恒定理 ".....缘幂势既同，其积不容异" a) 幂、势所指为何 b) 将此句翻成白话文，又这个定理在西方数学界被称为什麽定理 七: +∞ +∞ 1) 说明广义积分∫x*(e^(-x^2/2))dx 和 ∫ x^2*(e^(-x^2/2))dx 必收敛 -∞ -∞ +∞ ╴╴ 2) 假定 ∫ e^(-x^2/2)dx=√2π -∞ +∞ +∞ ╴╴ 试证 ∫x*(e^(-x^2/2))dx=0 和 ∫ x^2*(e^(-x^2/2))dx=√2π +∞ -∞ 八: 1) 设i=i(t)为对t可微的函数，令i(0)=iˇ0 而λ>0为常数 若i=i(t)满足下列一阶微分方程式 di/dt=λi(1-i) 求 i=i(t)之表达式，就是上列微分方程式解 提示:可视t为i之函数，求不定积分，再求反函数 求 lim i(t) t→+∞ -- █▂█▃███ ██ ▋▏ █▂ ▊█ ◥◤ █▆ ▉█ i▉ ▉ ▆█ █▆ █▅ ◢◣ --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.215.93 ※ 编辑: fattyfox 来自: 140.112.215.93 (04/18 23:46) ※ 编辑: fattyfox 来自: 123.0.202.31 (04/20 13:36)