很多人都背過99乘法表，很多也記過加法表。可是幾乎沒有人知道最原始最 原始他們是怎麼來的。想一下，約定俗成的民間慣例上面還有政府訂定的法律，而法 律之上還有最高的憲法，任何法律的訂定不得違反憲法。 在數學上也有這種層級之分，你可以想像數學裡面的憲法嗎？數學裡面的憲法我們稱 為「公理」，在數學裡面公理是自知之明之理！就是很直覺地，任何人都會知道，不 用解釋。但是公理畢竟還是人訂的，所以他還是一部數學裡的憲法。如同你想像的， 憲法之下有法律;公理之下也有所謂的「基本的數學定律」，而這些定律也是人們定義 的。如果現實的生活法律之下，因此數學上的法律或者稱為數學上的法則，都是人們定 義。根據這些定義、法則我們可以推論到一些特別的結果。 話題一轉，數學家常常說一句話「一是上帝創造的，其他都是人造的」。這句話是什麼 意思呢？我翻譯給大家聽，讓大家想想看是不是有道裡。意思是說 1 = 1 這是上帝創造的，因此不要問為什麼。「＝」這個符號也是人造的 　　　　　　稱為定義！ 1 + 1 = 2 2這個符號是一個定義，定義成 1+１　其中加號是人造的！定 　　　　　　義成ｘｘ跟ｘｘ。加號就是「和什麼的意思」。 　　　　　　1 + 2 = 3 定義１＋２＝３，所以你看到３這個符號，應該是理解成１＋２ 　　　　　　然後你又看到２這個符號，所以你又理解成１＋１＋１所以３只是一個符號 　　　 　　　　　　表示　１＋２。 　　　　　　同理 　　　　　　１＋３＝４　４也是個定義！ 　　　　　　１＋４＝５　５也是個定義！ 　　　　　　... ... 1+9 =10 10也是個定義 　　　　　　１０＋１＝１１也是個定義！ 　　　　　　... 一直到你想要的整數多大都行！ 　　　　　　由上面的定義，你可以將任意數字由定義推成１+1+1+1=4類似的推理！ 結論當有人問你　４＋９　＝１３，叫你解釋ｗｈｙ？如何解釋？ 根據４的定義你可以寫成１＋１＋１＋１ 根據９的定義你可以寫成１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１ 根據１３的定義你可以寫成１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１ 因此你可以證明４＋９得確等於１３。 所以加法表，可以用上述三個步全部證明完畢！然後列出表來，再記下來！記下來之後 你可以當作「定義」或是「法則」使用！以前不知道大家是否有記過以下這張讓人覺得 白癡的表： １＋１＝２ 2+1=3 3+1=4 ... 9+1=10 １＋２＝３ 2+2=4 3+2=5 ... 9+2=11 １＋３＝４ 2+3=5 3+3=6 ... 9+3=12 ... ... ... .... ... 稱為九九加法表！ 即然大家都認定加法沒有為什麼，那麼我們來說說乘法吧！首先乘法有以下四個定律 我們稱為乘法的法律！這４條法律是一定要成立才行，讓我們來看看是什麼樣的數學 法律： 第一條 　　任何數乘零一定為零，這是意思是說「5*0=0」太直覺了嗎？不不不這是定義！物 理學裡面，曾經有物理學家定義一個數字乘零之後卻不是零的例子。所以不要用過去 想當然爾的想法來看。注意這是定義，也是法律！法律規定請尊守！ 第二條交換律（自動成立，其實不用規定啦，不過可以證明必成立） 　　4*8 <=> 8*4 　任意兩個數字相乘一定等於任意兩個數字先乘跟後乘相同！ 　　太直覺了是吧！不不不！如果你學過線性代數你就會發現，先乘跟後乘是不一定相 等的！所以一直以為先乘跟後乘沒有差！這一點都不直覺！ 第三條分配律 　　規定成5*(3+2)=5*3+5*2 注意因為我們還沒證明3*5=5*3。所以我們先規定分配律 一定是5*3+5*2=5*(3+2) 用代數符號表示A是自然數，B是自然數，C是自然數！因此我們 可以定義A*(B+C)=A*B+A*C 這是定義！注意這是定義！沒有為什麼！ 第四條１＊１＝１ 　　這是定義！沒有這條我們就不知道往下推了！ 有了以上的四條法律！我們用這些法律，來證明任意自然數乘１，還是自己！即我們 得先證明A*1=A。首先我們已知定律： 　　　１＊１＝１ 問題１「２＊１」如何證明？ 前面的加法公理，告訴我們２＝１＋１因此 　　　（１＋１）＊１＝１＊１＋１＊１　這是分配律告訴我們。 接下來因為１＊１＝１這是定義！因此我們可以將上面寫成： 　　　　１＋１＝２得證！ －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 　　３＊１＝？？？如何證？ 由３的加法公理可知３＝１＋１＋１，因此可得到： 　　（１＋１＋１）＊１＝１＊１＋１＊１＋１＊１ 由１＊１＝１的法則，可以得到： 　　　１＋１＋１＝３　得證！ 由此我們可以推到無限個自然數！ 因此我們得到這個定理，任意自然數N＊１＝N這個定理！ 我想你已經看不下去了，媽的這些要證明要花多少時間呀！放心很多數學家都幫我們證 完了！你想我一直寫「自然數」都還沒證小數呢！更何況根號２這種無理數怎麼辦！曾 經有人提出無理數這種概念！結果被殺了！你知道事情有多嚴重吧！哈哈！ 事情已經進行到１／２之一了，讓我們接下來說明怎麼去證明九九乘法表吧！再說明 九九乘法表之前，我們得先證明交換律即： 　　　　　A*B=B*A A及B為自然數！ 首先考慮一個特殊的情況A是０！好！我們得證 　　　　　0*B=0 B*0=0 再來考慮A,B都是０ 　　　　　0*0=0 0*0=0 考慮A=1的情況： 　　　　　１＊B=B B *1=B 　　　　　得証。 考慮A=2的情況： 　　　　　２*B=(1+1)B=B+B B*2=B*(1+1)=B+B 得証。 考慮A=3, A=4.. ...同理可推。 由上述我們証明任意兩數相乘必然可以交換順序！即A*B=B*A 對任意兩個數兩乘，我們如何得出他的答案！以下是我們的演算法： 所謂的演算法就是根據上述我們訂義的法律，進行各種合乎定義的折解及合併的動作。 每一步幾乎是互相通行，因為他們是定義跟定義之間互相轉換而已。舉例如下： ７＊８＝？？？　我們如何利用定義寫出來？ 第一步　７＊８　可以利用加法定義拆成 　（ １＋１＋１＋１＋１＋１＋１）＊８ 第二步根據乘法的分配律，我們可以寫成： 　　8+8+8+8+8+8+8 第三步根據加法的特性，我們可以把８寫成１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１ 然後根據加法定義可以知道這些加起來就是可怕的５６！ 所以在電腦的演化史裡面，你可以充分了解，為什麼要乘法運算時，只需要一台會作加法 的機器就好！因為所有的乘法一定可以轉化成加法！這些數學的概念散見於各地的書！很 多都會用到！基本的原則是： 　　公理＋法則＝＞去推理！ 所有的數學一定建立在公理之上！而最後推出的一些數學上的特性結果！我們稱為 　　　　　　　　　　　　　　定理！ 演算法只是利用這些公理及法則所作出的定義的轉換。例如把８轉成定義就是１＋１＋１ １＋１＋１＋１＋１. 然後你會問１＋１？？？是什麼，是你定義的２！再來２＋１是什麼？是你定義的３！ ３＋１是什麼？是你定義的４！一直到１＋７是什麼？是你定義的８！用人類的語言來 說明你說８就是有八個１！用生活的語言，你會想像成８顆蘋果！而你是用１這個概念 來作數！你數一二三四五六七八時！就已經充分地表現出你對８的認知，是由１這個數 字來堆上去的！所以追根究根１是什麼？１是上帝創造的！其他２、３、４...都是人 造！ 打這篇的理由，只是因為唸書太無聊，突然想把自己唸過的數學作一個想法上的整合！ 萬一以後有機會作建構式教學，可能會拿我妹的女兒當實驗的對像！＝　＝ --

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