很多人都背过99乘法表，很多也记过加法表。可是几乎没有人知道最原始最 原始他们是怎麽来的。想一下，约定俗成的民间惯例上面还有政府订定的法律，而法 律之上还有最高的宪法，任何法律的订定不得违反宪法。 在数学上也有这种层级之分，你可以想像数学里面的宪法吗？数学里面的宪法我们称 为「公理」，在数学里面公理是自知之明之理！就是很直觉地，任何人都会知道，不 用解释。但是公理毕竟还是人订的，所以他还是一部数学里的宪法。如同你想像的， 宪法之下有法律;公理之下也有所谓的「基本的数学定律」，而这些定律也是人们定义 的。如果现实的生活法律之下，因此数学上的法律或者称为数学上的法则，都是人们定 义。根据这些定义、法则我们可以推论到一些特别的结果。 话题一转，数学家常常说一句话「一是上帝创造的，其他都是人造的」。这句话是什麽 意思呢？我翻译给大家听，让大家想想看是不是有道里。意思是说 1 = 1 这是上帝创造的，因此不要问为什麽。「＝」这个符号也是人造的 　　　　　　称为定义！ 1 + 1 = 2 2这个符号是一个定义，定义成 1+１　其中加号是人造的！定 　　　　　　义成ｘｘ跟ｘｘ。加号就是「和什麽的意思」。 　　　　　　1 + 2 = 3 定义１＋２＝３，所以你看到３这个符号，应该是理解成１＋２ 　　　　　　然後你又看到２这个符号，所以你又理解成１＋１＋１所以３只是一个符号 　　　 　　　　　　表示　１＋２。 　　　　　　同理 　　　　　　１＋３＝４　４也是个定义！ 　　　　　　１＋４＝５　５也是个定义！ 　　　　　　... ... 1+9 =10 10也是个定义 　　　　　　１０＋１＝１１也是个定义！ 　　　　　　... 一直到你想要的整数多大都行！ 　　　　　　由上面的定义，你可以将任意数字由定义推成１+1+1+1=4类似的推理！ 结论当有人问你　４＋９　＝１３，叫你解释ｗｈｙ？如何解释？ 根据４的定义你可以写成１＋１＋１＋１ 根据９的定义你可以写成１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１ 根据１３的定义你可以写成１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１ 因此你可以证明４＋９得确等於１３。 所以加法表，可以用上述三个步全部证明完毕！然後列出表来，再记下来！记下来之後 你可以当作「定义」或是「法则」使用！以前不知道大家是否有记过以下这张让人觉得 白痴的表： １＋１＝２ 2+1=3 3+1=4 ... 9+1=10 １＋２＝３ 2+2=4 3+2=5 ... 9+2=11 １＋３＝４ 2+3=5 3+3=6 ... 9+3=12 ... ... ... .... ... 称为九九加法表！ 即然大家都认定加法没有为什麽，那麽我们来说说乘法吧！首先乘法有以下四个定律 我们称为乘法的法律！这４条法律是一定要成立才行，让我们来看看是什麽样的数学 法律： 第一条 　　任何数乘零一定为零，这是意思是说「5*0=0」太直觉了吗？不不不这是定义！物 理学里面，曾经有物理学家定义一个数字乘零之後却不是零的例子。所以不要用过去 想当然尔的想法来看。注意这是定义，也是法律！法律规定请尊守！ 第二条交换律（自动成立，其实不用规定啦，不过可以证明必成立） 　　4*8 <=> 8*4 　任意两个数字相乘一定等於任意两个数字先乘跟後乘相同！ 　　太直觉了是吧！不不不！如果你学过线性代数你就会发现，先乘跟後乘是不一定相 等的！所以一直以为先乘跟後乘没有差！这一点都不直觉！ 第三条分配律 　　规定成5*(3+2)=5*3+5*2 注意因为我们还没证明3*5=5*3。所以我们先规定分配律 一定是5*3+5*2=5*(3+2) 用代数符号表示A是自然数，B是自然数，C是自然数！因此我们 可以定义A*(B+C)=A*B+A*C 这是定义！注意这是定义！没有为什麽！ 第四条１＊１＝１ 　　这是定义！没有这条我们就不知道往下推了！ 有了以上的四条法律！我们用这些法律，来证明任意自然数乘１，还是自己！即我们 得先证明A*1=A。首先我们已知定律： 　　　１＊１＝１ 问题１「２＊１」如何证明？ 前面的加法公理，告诉我们２＝１＋１因此 　　　（１＋１）＊１＝１＊１＋１＊１　这是分配律告诉我们。 接下来因为１＊１＝１这是定义！因此我们可以将上面写成： 　　　　１＋１＝２得证！ －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 　　３＊１＝？？？如何证？ 由３的加法公理可知３＝１＋１＋１，因此可得到： 　　（１＋１＋１）＊１＝１＊１＋１＊１＋１＊１ 由１＊１＝１的法则，可以得到： 　　　１＋１＋１＝３　得证！ 由此我们可以推到无限个自然数！ 因此我们得到这个定理，任意自然数N＊１＝N这个定理！ 我想你已经看不下去了，妈的这些要证明要花多少时间呀！放心很多数学家都帮我们证 完了！你想我一直写「自然数」都还没证小数呢！更何况根号２这种无理数怎麽办！曾 经有人提出无理数这种概念！结果被杀了！你知道事情有多严重吧！哈哈！ 事情已经进行到１／２之一了，让我们接下来说明怎麽去证明九九乘法表吧！再说明 九九乘法表之前，我们得先证明交换律即： 　　　　　A*B=B*A A及B为自然数！ 首先考虑一个特殊的情况A是０！好！我们得证 　　　　　0*B=0 B*0=0 再来考虑A,B都是０ 　　　　　0*0=0 0*0=0 考虑A=1的情况： 　　　　　１＊B=B B *1=B 　　　　　得证。 考虑A=2的情况： 　　　　　２*B=(1+1)B=B+B B*2=B*(1+1)=B+B 得证。 考虑A=3, A=4.. ...同理可推。 由上述我们证明任意两数相乘必然可以交换顺序！即A*B=B*A 对任意两个数两乘，我们如何得出他的答案！以下是我们的演算法： 所谓的演算法就是根据上述我们订义的法律，进行各种合乎定义的折解及合并的动作。 每一步几乎是互相通行，因为他们是定义跟定义之间互相转换而已。举例如下： ７＊８＝？？？　我们如何利用定义写出来？ 第一步　７＊８　可以利用加法定义拆成 　（ １＋１＋１＋１＋１＋１＋１）＊８ 第二步根据乘法的分配律，我们可以写成： 　　8+8+8+8+8+8+8 第三步根据加法的特性，我们可以把８写成１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１ 然後根据加法定义可以知道这些加起来就是可怕的５６！ 所以在电脑的演化史里面，你可以充分了解，为什麽要乘法运算时，只需要一台会作加法 的机器就好！因为所有的乘法一定可以转化成加法！这些数学的概念散见於各地的书！很 多都会用到！基本的原则是： 　　公理＋法则＝＞去推理！ 所有的数学一定建立在公理之上！而最後推出的一些数学上的特性结果！我们称为 　　　　　　　　　　　　　　定理！ 演算法只是利用这些公理及法则所作出的定义的转换。例如把８转成定义就是１＋１＋１ １＋１＋１＋１＋１. 然後你会问１＋１？？？是什麽，是你定义的２！再来２＋１是什麽？是你定义的３！ ３＋１是什麽？是你定义的４！一直到１＋７是什麽？是你定义的８！用人类的语言来 说明你说８就是有八个１！用生活的语言，你会想像成８颗苹果！而你是用１这个概念 来作数！你数一二三四五六七八时！就已经充分地表现出你对８的认知，是由１这个数 字来堆上去的！所以追根究根１是什麽？１是上帝创造的！其他２、３、４...都是人 造！ 打这篇的理由，只是因为念书太无聊，突然想把自己念过的数学作一个想法上的整合！ 万一以後有机会作建构式教学，可能会拿我妹的女儿当实验的对像！＝　＝ --

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