作者jacky7987 (憶)
看板NCCU08_Math
標題[功課] Irreducible polynomial in finite field
時間Sun May 29 01:27:46 2011
3.8最後一題習題的最後一小提
Prove, for all n≧1 and finite field k,
there is an irreducible polynomial in k[x]
Proof:
Let F_p be the prime of k, and so that |k|=p^r, for some r>0.
Let F_p^{nr} be the field having p^{nr} elements.
By thm, for all z in F_p^{nr},z is a root fo f(x)=x^(p^{nr})-x
and since p^r-1 | p^{nr}-1, so k is a subfield of F_p^{nr}
and [F_p^{nr},k][k,F_p]=[F_p^{nr},F_p]
[F_p^{nr},k]*r=nr
[F_p^{nr},k]=n
Therefore, there exists a irreducible polynomial g(x) of degree n
in k[x] such that F_p^{nr}
has a root of g(x)
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 123.193.85.88
※ 編輯: jacky7987 來自: 123.193.85.88 (05/29 01:39)
※ 編輯: jacky7987 來自: 123.193.85.88 (05/29 01:40)
1F：推 stymyle:推 05/29 10:50
2F：推 qazxcdews:扯 05/29 15:38
3F：推 OoYAYoO:為什麼[F_p^{nr},k]=n可以推得存在deg n的 irr poly 05/29 22:17
※ 編輯: jacky7987 來自: 123.193.89.201 (05/29 22:46)
4F：→ jacky7987:因為F_p^{nr} isom F_p^r/(g(x)) for some g(x) 05/29 22:47
5F：→ jacky7987:我是這樣認為拉 05/29 22:47
6F：→ jacky7987:比較不嚴謹的:每個有限體都有primitive elment 05/29 22:48
7F：→ jacky7987:我叫他x,那麼{1,x,...x^n} 是個線性相依集合 05/29 22:48
8F：→ jacky7987:存在不全為0的a_i 使得 a_0+a_1x+...+a_nx^n=0 05/29 22:49
9F：→ jacky7987:那x就是g(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0 的跟 05/29 22:49
10F：→ jacky7987:不嚴謹的點是我並不知道g(x)是否是irreducible的 05/29 22:50
11F：推 OoYAYoO:這樣 g(x)deg 不是n+1嗎? 如果是這樣寫得話 我是猜想會有 05/29 23:07
12F：→ OoYAYoO:特殊根z在F_p^{nr} 其order 為n 這樣(1 z z2 z3 ..) 05/29 23:09
13F：→ OoYAYoO:就是F_p^{nr}的一組基底 在根據3.116 就可以推得g(x)一定 05/29 23:10
14F：→ OoYAYoO:為Irr poly 05/29 23:10
15F：→ jacky7987:不過透過有限體的造法應該可以直接確定那個多項是存在? 05/29 23:11
16F：→ jacky7987:因為沒有的話代表沒有這種大小的體? 05/29 23:12
17F：推 OoYAYoO:是n沒錯= = 可是考慮體的造法 我是做不出來那個多項一定會 05/29 23:16
18F：→ OoYAYoO:結果 05/29 23:17