作者jacky7987 (忆)
看板NCCU08_Math
标题[功课] Irreducible polynomial in finite field
时间Sun May 29 01:27:46 2011
3.8最後一题习题的最後一小提
Prove, for all n≧1 and finite field k,
there is an irreducible polynomial in k[x]
Proof:
Let F_p be the prime of k, and so that |k|=p^r, for some r>0.
Let F_p^{nr} be the field having p^{nr} elements.
By thm, for all z in F_p^{nr},z is a root fo f(x)=x^(p^{nr})-x
and since p^r-1 | p^{nr}-1, so k is a subfield of F_p^{nr}
and [F_p^{nr},k][k,F_p]=[F_p^{nr},F_p]
[F_p^{nr},k]*r=nr
[F_p^{nr},k]=n
Therefore, there exists a irreducible polynomial g(x) of degree n
in k[x] such that F_p^{nr}
has a root of g(x)
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◆ From: 123.193.85.88
※ 编辑: jacky7987 来自: 123.193.85.88 (05/29 01:39)
※ 编辑: jacky7987 来自: 123.193.85.88 (05/29 01:40)
1F：推 stymyle:推 05/29 10:50
2F：推 qazxcdews:扯 05/29 15:38
3F：推 OoYAYoO:为什麽[F_p^{nr},k]=n可以推得存在deg n的 irr poly 05/29 22:17
※ 编辑: jacky7987 来自: 123.193.89.201 (05/29 22:46)
4F：→ jacky7987:因为F_p^{nr} isom F_p^r/(g(x)) for some g(x) 05/29 22:47
5F：→ jacky7987:我是这样认为拉 05/29 22:47
6F：→ jacky7987:比较不严谨的:每个有限体都有primitive elment 05/29 22:48
7F：→ jacky7987:我叫他x,那麽{1,x,...x^n} 是个线性相依集合 05/29 22:48
8F：→ jacky7987:存在不全为0的a_i 使得 a_0+a_1x+...+a_nx^n=0 05/29 22:49
9F：→ jacky7987:那x就是g(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0 的跟 05/29 22:49
10F：→ jacky7987:不严谨的点是我并不知道g(x)是否是irreducible的 05/29 22:50
11F：推 OoYAYoO:这样 g(x)deg 不是n+1吗? 如果是这样写得话 我是猜想会有 05/29 23:07
12F：→ OoYAYoO:特殊根z在F_p^{nr} 其order 为n 这样(1 z z2 z3 ..) 05/29 23:09
13F：→ OoYAYoO:就是F_p^{nr}的一组基底 在根据3.116 就可以推得g(x)一定 05/29 23:10
14F：→ OoYAYoO:为Irr poly 05/29 23:10
15F：→ jacky7987:不过透过有限体的造法应该可以直接确定那个多项是存在? 05/29 23:11
16F：→ jacky7987:因为没有的话代表没有这种大小的体? 05/29 23:12
17F：推 OoYAYoO:是n没错= = 可是考虑体的造法 我是做不出来那个多项一定会 05/29 23:16
18F：→ OoYAYoO:结果 05/29 23:17